2024—2025学年山西省期中监测试卷
九年级数学
注意事项：
1.满分120分，答题时间为120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.国内某地图软件自2005年上线以来，秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以科技为手段不断探索创新，如今已经发展成为国内领先的互联网地图服务商.下面是该地图软件中的四个图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在中，，.小明以点C为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点D，则的半径为（ ）
A. B.3 C. D.2
4.下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（ ）
第①步：，
第②步：，
第③步：，
第④步：.
A.第①步 B.第②步 C.第③步 D.第④步
5.关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
6.如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为5cm，瓶内液体的最大深度为2cm，则截面圆中弦的长为（ ）
A.8.6cm B.8cm C.6cm D.5.4cm
7.二次函数的自变量x与函数值y的对应关系如下表.设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.若，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9.在数学综合实践活动课上，科技小组成员设计了一个机器人指令：.根据这个指令，机器人可以在平面直角坐标系中完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离a.若此时机器人在平面直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，接着给机器人下了另一个指令，机器人移动到点B，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.当时，二次函数的最小值为6，则a的值为（ ）
A.或3 B. C.或1 D.1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.如图，，是的两条半径，且，点C在上，则的度数为________.
12.小雅家有一张如图所示的长方形桌子，桌面长120cm，宽60cm.有一块长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等.设垂下的长度为xcm，根据题意，可列方程：________.
13.抛物线上有，两点，则b的值为________.
14.在利用量角器进行角度测量时，刘新同学放错了位置，将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图），爱动脑筋的李涛同学忽然发现，这样也能测量得到的度数.通过仔细观察，李涛同学发现射线，与量角器的交点A和B对应的刻度分别是和，则的度数为________.
15.图1是边长为2的正方形，连接，并沿着将此正方形剪开，之后将绕点A顺时针旋转一定的度数，此时将记作.当旋转到和的交点F恰好是边的中点时（如图2），线段的长为________.
图1 图2
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本题共2小题，每小题5分，共10分）
（1）解方程：.
（2）关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围.
17.（本题7分）某地区为了更好地推进义务教育优质发展，在2022年投入教育经费2500万元用于加强学校硬件建设，2024年投入教育经费3025万元.
（1）求2022年至2024年该地区投入的教育经费的年平均增长率.
（2）根据（1）中所得的年平均增长率，预计2025年该地区将投入教育经费多少万元.
18.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为，，.
（1）请画出，使与关于x轴对称.
（2）将绕点O逆时针旋转，请画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标.
（3）若是内的任意一点，试写出将绕点O逆时针旋转后点P的对应点的坐标.
19.（本题7分）如图，在中，为弦，为直径，且于点E，连接，过点B作于点F，与相交于点G，连接.
（1）求证：E是线段的中点.
（2）若，，求的半径.
20.（本题7分）某超市出售一种水果，进价为2元每千克.根据长期的销售情况，超市发现，当这种水果售价为3元每千克时，每天能卖出500千克，如果售价每千克上涨0.1元，其销售量将减少10千克.
（1）若该种水果每千克售价上涨0.5元，则每千克利润为________元，平均每天销售________千克，当天利润为________元.
（2）当该种水果售价为多少元每千克时，该超市销售这种水果的总利润W最大？最大利润W是多少？
21.（本题9分）阅读与思考
下面是小乐同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
×年×月×日星期六 用函数思想解决生活中的实际问题 爸爸计划利用一张如图1所示的边长为30cm的正方形纸板制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作.根据实际需求，在现有纸板的条件下，要使储物箱的容积最大.现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决这个问题. 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱.设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象.通过观察函数图象，即可确定当x为何值时，我们所制作的无盖长方体储物箱的容积最大. 图1 图2 图3
任务：
（1）当________cm时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________.
（2）请你列出S关于x的函数解析式，并根据实际意义直接写出x的取值范围.
（3）在解决问题的过程中，你获得了什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可）
22.（本题12分）综合与实践
实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手.农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者.下面是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为y轴，水平地面作为x轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为，对称轴为，且.
（1）当与恰好相等时，求抛物线的解析式.
（2）在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点P，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点P.若能，计算的长；若不能，请说明理由.
23.（本题13分）综合与探究
问题情境
已知在中，，.如图1，D是线段上一点，将线段绕点C逆时针旋转到，连接，.
图1
（1）若，，求的长度.
猜想证明
（2）如图2，连接，取的中点为M，连接，，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明.
图2 备用图
深入探究
（3）当点D在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，，请直接写出的面积.
2024—2025学年山西省期中监测试卷
九年级数学参考答案
1.B 2.C 3.D 4.C
5.C 6.B 7.A 8.D
9.D 10.B
11. 12. 13.
14.
15.
提示：如图，连接，，相交于点O.
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴.
∴.
∵，∴.
∵，∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，，
∴垂直平分线段，
∴.
在中，
∵，，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为.
16.解：（1），
.
，
∴或，
∴，. 5分
（2）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴， 6分
即，解得. 8分
∵关于x的一元二次方程中，
∴k的取值范围是且 10分
17.解：（1）设2022年至2024年该地区投入的教育经费的年平均增长率为x.
依题意，得， 2分
解得，（不符合题意，舍去）.
答：2022年至2024年该地区投入的教育经费的年平均增长率为10%. 4分
（2）（万元）.
答：预计2025年该地区将投入教育经费3327.5万元. 7分
18.解：（1）如图，即为所求. 3分
（2）如图，即为所求. 6分
点的坐标是. 7分
（3）点的坐标是. 10分
19.解：（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴. 2分
在和中，
∴，
∴，
∴E是线段的中点. 4分
（2）如图，连接.
设，则.
由（1），知，
∴. 5分
∵，
∴，
即，解得（负值已舍去），
即的半径为. 7分
20.解：（1）1.5；450；675. 3分
（2）设该种水果的售价为x元每千克.
根据题意，得
. 5分
∵，
∴当时，W最大，最大利润W为900元. 7分
21.解：（1）5；2000. 2分
（2）依题意，得， 4分
且x满足. 6分
（3）在解决生活中的问题时，经常用到数学中函数的解题思想（答案不唯一）. 9分
22.解（1）∵，，
∴，
∴，即，
∴. 3分
∵，即当时，，
∴，
∴抛物线的解析式为. 5分
（2）∵点，，
∴直线的解析式为.
∵，设直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴，
∴直线的解析式为. 8分
令，解得；
令，解得（负值不合题意，已舍去）. 10分
∵，故在大棚内上找不到符合条件的固定点P. 12分
23.解：（1）∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴.
在和中，
∴， 2分
∴，.
∴.
∵，
∴，
∴. 4分
（2）. 5分
证明：如图1，延长到点G，使，交于点N.
图1
∵，，
∴.
∵，
∴，，
∴.
∵M为的中点，
∴，
∴点M在的垂直平分线上.
∵，
∴点C在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴. 7分
在和中，
∴，
∴.
∵，
∴.
在和中，
∴，
∴.
∵，
∴. 10分
（3）或 13分
提示：①如图2，当点D在的延长线上时，
∵，，
∴.
∵，
∴.
图2
②如图3，当点D在的延长线上时，
∵，，
∴.
∵，
∴.
图3
综上所述，或.
