第17章函数及其图像 学情检测卷
一、选择题(每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列关系式中，y不是x的函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝ C．y2＝x D．y＝－x
2．一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中的变量是( )
A．a，t，y B．y C．t，y D．a，y
3．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标是( )
A．(－2，3) B．(2，3) C．(－3，2) D．(2，－3)
4．点A(1，y1)，B(2，y2)都在直线y＝x＋b上，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法比较大小
5．已知一个三角形的面积为4，一边长为x，这条边上的高为y，则y随着x的变化规律用图象表示大致是( )
6．要得到函数y＝2x＋3的图象，只需将函数y＝2x的图象( )
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
7．点A(a，b)为函数y＝与y＝x＋4的图象的交点，则－的值为( )
A．1 B．4 C．－1 D．－4
8．已知一次函数y1＝2x＋m与y2＝2x＋n(m≠n)的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
9．如图，某广场要做一个由若干个花盆组成的形如正六边形的花坛，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)个花盆，设这个花坛边上的花盆的总数为S，请观察图中的规律，按此规律推断，S与n的关系是( )
A．S＝4n＋2 B．S＝6n＋6 C．S＝4n－2 D．S＝6n－6
10．根据图①所示的程序，得到了y关于x的函数图象，如图②，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连结OP，OQ，则以下结论：①当x＜0时，y＝；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤∠POQ可以等于90°.其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
12．如图，函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b>ax－3的解集是________．
13．在平面直角坐标系中，若函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，则y1＋y2的值是________．
14．在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m(g)与液体的体积V(cm3)，绘制了如图所示的函数图象(图中为一线段)，则72 g该种液体的体积为________cm3.
15．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1.如果B为反比例函数图象上的点(点B与点A不重合)，且点B的横坐标为1，在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，则点P的坐标为________．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(8分)已知在平面直角坐标系中，点A(m＋1，m)，点B(－2，0)．
(1)当AB∥y轴时，求点A的坐标；
(2)若点A(m＋1，m)在y轴上，点C与点A关于x轴对称，连结AB，CB，求△ABC的面积．
17．(9分)已知图形ABCDEF(如图①)的相邻两边互相垂直，AB＝8 cm.当动点M以2 cm/s的速度沿图①的边按B→C→D→E→F→A的路径运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：
(1)a＝________，EF＝__________；
(2)b＝________；
(3)当点M运动到DE上时，请用含t的代数式表示出DM的长度，并求出S与t的关系式．
18.(9分)如图，直线y＝2x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)C(a，0)为x轴上一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线y＝2x＋3于点D.若线段CD＝5，求a的值．
19．(9分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象与直线y＝ax＋b交于A(－1，m)，B(－4，－1)．
(1)求k的值及直线y＝ax＋b的表达式；
(2)当ax＋b≥时，x的取值范围是________；
(3)若点C在函数y＝的图象上，且△ABC是以AB为底的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
20．(10分)某校准备发展排球特色课程，计划购买一批排球，经咨询得知两家体育用品商店的优惠方案如下：
A商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售．
B商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后超过部分每个再优惠10元．
若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的应付总价，其函数图象如图所示．
(1)每个排球的标价是________元．
(2)当x>20时，A商店的应付总价yA与数量x之间的函数关系式为__________________；
当x>15时，B商店的应付总价yB与数量x之间的函数关系式为___________________．
(3)请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．
(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠．
21．(10分)如图，线段AB⊥y轴于点A，AB＝8，反比例函数y＝(x>0)的图象交AB于点C.AB的垂直平分线交反比例函数的图象于点D.
(1)在图中用直尺和圆规作出点D(保留作图痕迹，不写画法)．
(2)连结BD，若BD＝5.
①当点A的坐标为(0，8)时，求反比例函数的表达式；
②连结OD，当BD＝BC时，求OD的长．
22．(10分)第41届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大、小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：
①每个大盘的批发价比每个小盘多120元；②一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；③每套组合瓷盘的批发价为320元．
(1)求每个大盘与每个小盘的批发价．
(2)若该商店购进小盘的数量比大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商店计划将一半的大盘成套销售，每套500元，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商店购进大盘x个．请设计一种获取利润最大的方案并求出最大利润．
23．(10分)如图，一次函数y＝x＋2的图象与x轴交于点C，与y轴交于点B.点A(2，a)在直线BC上，反比例函数y＝的图象过点A，且与直线BC在第三象限相交于点D，连结OA，OD.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点D的横坐标为－6，求△AOD的面积；
(3)一次函数y＝k1x＋b(k1≠0)的图象由函数y＝x＋2的图象向下平移3个单位长度得到，当x>－2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝k1x＋b的值，直接写出m的取值范围．
答案
1．C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.A 8.A
9．D 点拨：观察可得，n＝2时，S＝6；n＝3时，S＝6＋(3－2)×6＝12；n＝4时，S＝6＋(4－2)×6＝18；….
∴S与n的关系是S＝6＋(n－2)×6＝6n－6.
10．C 点拨：①当x＜0时，y＝－，∴故①错误；②当x＜0时，y＝－，当x＞0时，y＝，设P(a，b)，Q(c，d)，则ab＝－2，cd＝4，∴△OPQ的面积是(－a)b＋cd＝1＋2＝3，故②正确；③当x＞0时，y＝，y随x的增大而减小，故③错误；④∵ab＝－2，cd＝4，
∴＝＝，∴MQ＝2PM，故④正确；⑤易知PM＝－a，则OM＝－.则PO2＝PM2＋OM2＝(－a)2＋＝a2＋，QO2＝MQ2＋OM2＝(－2a)2＋＝4a2＋.令PQ2＝PO2＋QO2＝a2＋＋4a2＋＝5a2＋＝9a2，整理，得＝4a2，
∴a4＝2，∴a有解，∴∠POQ＝90°可能存在，故⑤正确．
∴正确结论的个数是3.
11．x＞－2 12.x＞－2 13.0 14.80
15. 点拨：设点A的坐标为(a，b)，则b＝，
∴ab＝k，
∵S△AOM＝ab＝1，∴k＝1，∴k＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝.
联立解得(负值舍去)∴A为(2，1)．
设点A关于x轴的对称点为C，则点C的坐标为(2，－1)．设直线BC的表达式为y＝mx＋n.
由题意知B的坐标为(1，2)，
∴解得
∴直线BC的表达式为y＝－3x＋5.易知当点P是直线BC与x轴的交点时，PA＋PB的值最小，
当y＝0时，x＝，∴点P的坐标为.
16．解：(1)∵AB∥y轴，A，B，
∴m＋1＝－2，∴m＝－3，∴A.
(2)∵点A在y轴上，
∴m＋1＝0，解得m＝－1，
∴A，∴C(0，1)，∴AC＝2.
∵B，∴OB＝2，∴S△ABC＝AC·OB＝2.
17．解：(1)48；3 cm (2)8.5
(3)当点M在DE上时，点M的路程为2t cm，
易知BC＋CD＝17 cm，∴DM＝(2t－17)cm.
当点M在DE上时，S＝AB·(BC－DM)．
即S＝·8·[12－(2t－17)]＝－8t＋116(8.5≤t≤12.5)．
18．解：(1)对于y＝2x＋3，
当y＝0时，x＝－，当x＝0时，y＝3，
∴点A的坐标为，点B的坐标为(0，3)．
(2)根据题意得，点D的横坐标为a，则纵坐标为2a＋3，
∴CD＝|2a＋3|＝5，解得a＝1或－4，
∴a的值为1或－4.
19．解：(1)∵反比例函数y＝的图象与直线y＝ax＋b交于点A(－1，m)，B(－4，－1)，∴将(－4，－1)代入y＝，得k＝4，∴y＝，
将(－1，m)代入y＝，得m＝－4，∴A(－1，－4)．
将A，B两点的坐标代入y＝ax＋b，得
解得
∴直线的表达式为y＝－x－5.
(2)－1≤x<0或x≤－4
(3)点C的坐标为(－2，－2)或(2，2)．
点拨：设点C，
∵△ABC是以AB为底的等腰三角形，∴CA＝CB，
∴(n＋1)2＋＝(n＋4)2＋，
解得n＝±2，∴点C的坐标为(－2，－2)或(2，2)．
20．解：(1)120
(2)yA＝96x＋480；yB＝98x＋330
(3)由题图可知，点M是两个函数图象的交点，
则96x＋480＝98x＋330，解得x＝75，
此时y＝96×75＋480＝7 680，∴点M的坐标为(75，7 680)．
点M表示的实际意义为当购买75个排球时，在A、B两家商店的应付总价相同，均为7 680元．
(4)观察图象可知：当0≤x≤15或x＝75时，在A、B两家商店的应付总价相同；
当15
21．解：(1)如图所示，点D即为所求．
(2)①如图，设线段AB的垂直平分线交AB于点E，
∵AB＝8，∴AE＝BE＝AB＝4，
∴点D，E的横坐标均为4，
∵BD＝5，∠BED＝90°，∴DE＝＝3.
∵点A的坐标为，AB⊥y轴，∴E(4，8)，
∴点D的纵坐标为8－3＝5，∴D，
∴k＝4×5＝20，∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．
②∵BD＝BC＝5，AB＝8，∴AC＝3.
设D，则C.
∵点D，C都在y＝的图象上，
∴4a＝3，∴a＝9，∴D，
∴OD＝＝．
22．解：(1)设每个小盘的批发价是a元，则每个大盘的批发价是元，＋4a＝320，
解得a＝40，∴a＋120＝160.
答：每个大盘的批发价是160元，每个小盘的批发价是40元．
(2)∵该商店购进大盘x个，∴该商店购进小盘的数量是个．
设获取的利润为w元，则w＝＋＋×＝280x＋720.
由题意知x＋5x＋18≤320，解得x≤50.
易知x为偶数，∴x≤50且x为偶数，
∴当x＝50时，w取得最大值，最大值为14 720，
此时5x＋18＝268.
答：当购买50个大盘，268个小盘时可以获得最大利润，最大利润是
14 720元．
23．解：(1)将点A的坐标代入y＝x＋2，
得×2＋2＝a，∴a＝3，∴A.
将A的坐标代入y＝，得＝3，
∴k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)在y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2，
∴B，∴OB＝2，
∴S△AOD＝S△AOB＋S△BOD
＝OB·＋OB·
＝OB·
＝×2×
＝8.
(3)≤m≤1. 点拨：∵一次函数y＝k1x＋b的图象由函数y＝x＋2的图象向下平移3个单位长度得到，∴新的一次函数的表达式为y＝x－1，当x＝－2时，y＝×－1＝－2.当函数y＝mx的图象过点时，－2m＝－2，解得m＝1.画出函数y＝x和y＝x－1的图象如图所示．
∵当x>－2时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值大于一次函数
y＝k1x＋b的值，∴当x>－2时，函数y＝mx的图象在一次函数
y＝x－1的图象的上方，结合图象可得，m的取值范围为≤m≤1.
