3.3 函数的应用(一)
一、选择题
1.一定范围内,某种产品的购买量y(单位:吨)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.若购买1000吨,则每吨800元,若购买2000吨,则每吨700元.若一客户购买400吨,则其价格为每吨 ( )
A.820元 B.840元
C.860元 D.880元
2.某市为鼓励居民节约用水,规定:每户居民每月用水量不超过10 m3的,按t(t>0)元/m3收费;用水量超过10 m3的,超过部分按2t元/m3收费.某户居民某月缴水费16t元,则该户居民这个月的实际用水量为 ( )
A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3
3.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与每月投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是 ( )
A.45.5万元 B.37.5万元
C.36万元 D.35万元
4.已知超市内某商品的日销量y(单位:件)与当日销售单价x(单位:元)满足关系式y=-2x+100,其中10
C.1000元 D.800元
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 ( )
A.30 B.60 C.120 D.240
6.某医院在设备更新后的第n天,对某项疾病指标检测,每个检测对象检测过程(从接受检测到检测报告生成)平均耗时为t(n)(单位:小时),t(n)与n近似满足的关系为t(n)=(t0,N0为常数).已知第16天每个检测对象检测过程平均耗时为16小时,第64天和第67天每个检测对象检测过程平均耗时均为8小时,那么第49天每个检测对象检测过程平均耗时大致为 ( )
A.16小时 B.11小时
C.9小时 D.8小时
7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图所示,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积S最大时,x= ( )
A.15 B.12 C.14 D.10
8.(多选题)某商家为了提高一等品M的销售额,对一等品M进行分类销售.据统计,该商家有200件一等品M,产品单价为m(m>0)元.现计划将这200件一等品分为两类:精品和优品.其中优品x件(x∈N*,200>x≥125),分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%,优品的单价调整为m元(n∈N*),因市场需求旺盛,假设分类后精品与优品可以全部售完.若优品的单价不低于分类前一等品M的单价,且精品的总销售额不低于优品的总销售额,则n的值可能为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.则下列结论正确的是 ( )
A.出租车行驶2 km,乘客需付费8元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.乘出租车行驶5 km两次的费用超过乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
二、填空题
★10.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式为 .
11.某企业开发一种产品,生产这种产品的年固定成本为3600万元,每年平均生产x(x>0)千件,需投入成本c(x)万元,c(x)=x2+10x.若该产品每千件定价a万元,为保证生产该产品不亏损,则a的最小值为 .
12.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(单位:万元)与销售时间t(单位:月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息,截止到第 月月末公司累积利润可达到30万元.
三、解答题
13.某专营店经销某种商品,当售价不高于10元时,每天能销售100件;当售价高于10元时,每提高1元,销量减少3件.若该专营店每日费用支出为500元,用x(x∈N*)表示该商品的定价,y表示该专营店一天的净收入(除去每日的费用支出后的收入).
(1)把y表示成关于x的函数.
(2)试确定该商品定价为多少元时,一天的净收入最高 并求出净收入的最大值.
14.经过长期观测发现,某最高时速不超过100千米/时的公路段的车流量y(辆/时)与车辆的平均速度v(千米/时)之间的关系为y=
(1)当车辆的平均速度为多少时,公路段的车流量最大 最大车流量为多少
(2)若某一期间对该公路段车辆实行限流管控,车流量不超过4125辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内
3.3 函数的应用(一)
1.C [解析] 设y=kx+b,则1000=800k+b,且2000=700k+b,解得k=-10,b=9000,则y=-10x+9000.令400=-10x+9000,解得x=860.故选C.
2.A [解析] 设居民每月应缴水费为y元,实际用水量为x m3,则y=由y=16t,可知x>10,令2tx-10t=16t,解得x=13.故选A.
3.B [解析] 由x=3-,得t=-1,由t>0,得1
6.C [解析] 由第64天和第67天每个检测对象检测过程平均耗时均为8小时知,16≤N0,所以=16,解得t0=64.又由=8,解得N0=64,所以t(49)==≈9,故选C.
7.A [解析] 由三角形相似得=,整理得x=(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,当y=12时,S有最大值,此时x=15.故选A.
8.BC [解析] 依题意得
即由125≤x≤25(n-1)知n≥6;由x2+50(3-n)x+10 000≥0知n≤++3对x∈[125,200)恒成立,因为函数f(x)=++3在[125,200)上单调递增,所以f(x)在[125,200)上的最小值为f(125)=++3=7.1,即n≤7.综上,6≤n≤7,又n∈N*,所以n=6或n=7.故选 BC.
9.BCD [解析] 对于A,出租车行驶2 km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,故A错误;对于B,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),故B正确;对于C,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.3(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,故C正确;对于D,设出租车行驶了x km,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6,得x>8,故8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,故D正确.故选BCD.
10.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*) [解析] 由题意知,变速车存车(2000-x)辆次,则总收入y=0.5x+(2000-x)×0.8=0.5x+1600-0.8x=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*),所以y关于x的函数关系式为y=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*).
[易错点] 实际问题的函数解析式,要注意自变量的实际意义.
11.130 [解析] 设生产该产品的年利润为f(x)万元,则f(x)=ax-(x2+10x+3600)(x>0),整理得f(x)=-x2+(a-10)x-3600,为保证生产该产品不亏损,则f(x)=-x2+(a-10)x-3600≥0(x>0),即a≥x++10≥2+10=130,当且仅当x=,即x=60时取等号,a取得最小值130,此时产品不亏损.
12.10 [解析] 由二次函数图象可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c(a≠0,t≥0).取点B(4,0),D(1,-1.5),O(0,0),得解得所以所求函数关系式为S=0.5t2-2t(t≥0).把S=30代入,得30=0.5t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截止到第10月月末公司累积利润可达到30万元.
13.解:(1)由题意可得y=
即y=
(2)当0
当x>10时,y=-3x2+130x-500=-3+,∴当x=时,ymax=,
又x∈N*,∴当x=22时,y取得最大值,ymax=908.
∵908>500,∴当该商品定价为22元时,一天的净收入最高,净收入的最大值为908元.
14.解:(1)当0
因为9000<12 000,
所以车辆的平均速度为35千米/时时,公路段的车流量最大,最大车流量为12 000辆/时.
(2)当0
所以汽车的平均速度应在(0,15]∪[77,100]内.
