西安市2024–2025学年度高二年级期中测评数学学科试题
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A.的共轭复数为 B.的虚部为
C. D.在复平面内对应的点在第一象限
4.已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A.1 B.9 C.7 D.4
5.平行六面体中，，，则实数，，的值分别为
A.，， B.，， C.，， D.，，
6.已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交 C.内切 D.外切
7.点在直线上运动，，，则的最大值是（ ）
A. B. C.3 D.4
8.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.向量与的夹角为 D.向量在上的投影向量为
10.若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是
A.若为椭圆，则 B.若是双曲线，则其离心率有
C.若为双曲线，则或 D.若为椭圆，且长轴在轴上，则
11.已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A.以为直径的圆与抛物线的准线相切
B.若，则直线的斜率
C.弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为
D.若，则的最小值为18
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是_____.
13.四种电子元件组成的电路如图所示，，，，电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为_____.
14.设双曲线的左、右焦点分别为，，为左顶点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率________，_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）设抛物线，为的焦点，过的直线与交于，两点.
（1）若的斜率为2，求的值；
（2）求证：为定值.
16.（15分）.在中，角，，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若是的角平分线，且，，求的面积
17.（15分）
本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图.
（1）若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率；
（2）现从身高在区间的商中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差.
18.（17分）已知动圆与圆相内切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于，两个不同的点，记的面积为，求的最大值.
19.（17分）
已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的点，直线，的斜率分别为，，且.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，）
（i）求的取值范围；
（ii）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
