24.1.4圆周角 2024-2025学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（ ）
A．7 B． C． D．
4．如图，中，弦，相交于点，，，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，⊙O的半径为1，是⊙O的一条弦，且，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
7．如图，在半圆O中，若∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．70° B．140° C．110° D．130°
8．如图，中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，点A、B、C、D、E均在上，连接、、、，且，则 弧所对圆心角的度数为 ．
11．如图，内接于，连接，已知，则 ．
12．如图，四边形内接于，点在的延长线上，，．
（1）的度数为 ；
（2）的半径为 ．
13．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，，若，则弦BD的长为 .
14．如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，，则的长为 ．
15．如图，内接于．若的半径为3，，则弦的长为 ．
16．如图，已知是的直径，，是上的三等分点，，则的度数是 ．
17．如图，四边形的对角线是的直径，，，则
三、解答题
18．如图，在中，弦交于点E，且．求证：．
19．如图，是的直径，是的弦，，求的度数．
20．如图所示，是的直径，，垂足为D，，和相交于E，求证：．
21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APB=∠CPB=60°．
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论．
(2)证明：PA+PC=PB．
22．（1）【问题情境】是外一点，是上一动点．若的半径为，且，则点到点的最短距离为 ．
（2）【直接运用】如图1，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
（3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边，向终点，运动，连接和交于点，求点到点的距离最小值．
（4）【灵活运用】如图3，的半径为，弦，为优弧上一动点，交直线于点，则 面积的最大值是 ．
参考答案：
1．C
2．B
3．C
4．B
5．D
6．D
7．C
8．C
9．D
10．
11．
12．
13．．
14．
15．
16．
17．
18．证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．∵是的直径，是的弦，，
∴，
∴．
20．证明：延长交于，如图，
，
，
，
，
，
，
．
21．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：
由圆周角定理得，∠BCA=∠APB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：在PB上截取PH=PA，
∵∠APB=60°，
∴△APH为等边三角形，
∴AP=AH，∠PAH=60°，
∴∠BAH+∠CAH=∠PAC+∠CAH，
即∠BAH=∠PAC，
在△AHB和△APC中，
，
∴△AHB≌△APC（AAS）,
∴BH=PC，
∴PB=PH+BH=PA+PC．
22．解：（1）当点是与的交点时，为最短，
，
（2）如图，连接，当、、在同一直线上时，点到点的最短，
，
的最小值为
故答案为：；
（3），
，
，
，
，
，
故点点在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点即为最小时的位置；
，
的最小值为；
（4）连接
，
是等边三角形，
，
，
，要使面积最大，则点到的距离最大，
如图，，
点在以的上，
当时，点到的距离最大，
是等边三角形，
的最大面积为．
