2024-2025学年度第一学期期中考试试题
八年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．物理课上小新学习了利用排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量简中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ）
第3题图
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．利用加减消元法解方程组，小致说：要消去，可以将①②；小远说：要消去，可以将①②．关于小致和小远的说法，下列判断正确的是（ ）
A．小致对，小远不对 B．小致不对，小远对
C．小致和小远都对 D．小致和小远都不对
5．若一个正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点，直线解析式为，当随增大而增大时，点的坐标可以是（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（ ）
0 1 2 5
3 1
A． B． C．0 D．7
9．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小高同学设有辆车，人数为，根据题意的列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ ）
A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
10．如图，在一场篮球比赛中，某队甲、乙两队员的位置分别在、两点处，队员甲抢到篮板后，迅速将球抛向对方半场，队员乙看到后同时快跑到点处恰好接住了球，则图中分别表示球、乙队员离点的距离（单位：米）与甲队员抛球后的时间（单位：秒）关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为________．
12．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”，两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶“翅膀顶端”点的坐标为________．
第12题图
13．将直线向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，正好经过点，则的值为________．
14．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于，的方程组是“和谐方程组”，则的值为________．
15．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是________．
16．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为________．
图① 图②
17．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，得到等腰直角，且为直角，连接，请写出当最大时点的坐标为________．
第17题图
三、解答题（共8小题，共69分）
18．（本题满分8分）计算：
（1）；
（2）．
19．（本解满分8分）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（本题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）将先向右平移5个单位，再关于轴对称，得到，请画出；
（2）直接写出，，三点的坐标分别为________，________，________；
（3）的面积为________．
21．（本题满分7分）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”。
（1）若与是关于15的友好二次根式，求；
（2）若与是关于4的友好二次根式，求．
22．（本题满分8分）
生活中的数学：古代计时器“漏壶”
问题情境 某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体 图① 图②
实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据 时间12345圆柱容器液面高度68101214
根据上述的实践活动，解决以下问题：
（1）【探索发现】
①请你根据表中的数据在图②中描点、连线，并判断与之间是我们学过的________函数；
②确定与之间的函数关系式；
（2）【结论应用】
23．（本题满分9分）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．
（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？
（2）设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．
24．（本题满分10分）如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示．
图① 图②
（1）________；
（2）求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式；
（3）当的面积为时，求的值．
25．（本题满分12分）我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的同侧，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，连接，称为“反三角形”．在平面直角坐标系中：
备用图
（1）如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为________；
（2）已知点，过点作平行于轴的直线．如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；
（3）如果点为直线上一点，点关于直线的反射点为，点为点，如果反为直角三角形，且面积为8，求反射点的坐标．
2024-2025学年度第一学期期中考试试题参考答案
八年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 C D C B B C B A C C
二、填空题（每小题3分，共21分）
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 （答案不唯一） 3 375
三、解答题（共8小题，共69分）
18．（本题满分8分）
（1）解：原式……3
……4
（2）解：原式……7
……8
19．（本题满分8分）
（1）
解：将②式代入①式，得③
解得……2
将代入②式，得……3
∴原方程组的解为……4
（2）
解：将②式去分母，得
化简，得③
③-①，得
解得……6
③-①，得
解得……7
∴原方程组的解为……8
20．（本题满分7分）
（1）如图，即为所求；……2
（2），，；……5
（3）4．……7
21．（本题满分7分）
解：（1）由题意可得，，
∴；……3
（2）由题意可得，，
整理得，，
∴．……7
22．（本题满分8分）
解：（1）①函数图象如图所示，一次；……2
②设该函数的表达式为，
∵点，该函数图象上，
∴，
解得，
∴与之间的函数表达式为……6
（2）当时，，
解得，
∴．
答：当圆柱容器液面高度达到时是16：00．……8
23．（本题满分9分）
解：（1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元．……3
（2）由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，
根据题意，得，
即，
∴与之间的函数关系式为；……5
（3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得
，即，……6
∵，
∴随的增大而增大，
∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，
∴，即，
解得，……7
∴，
∵为非负整数，
∴当时，取最大值，（元），……8
此时套，
答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元．……9
24．（本题满分10分）
（1）6；……2
（2）过点作交于点，则四边形为矩形，
∴，，
由图可知，当时，点到达点处，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，
当点在上，即时，设，
代入，，
得，
解得，
∴与之间的函数关系式为；……6
（3）在上，即时，设，
代入，得
解得，
∴与之间的函数关系式为；
当时，即或
解得或
综上所述：当的值为解得或时，的面积为．……10
25．（本题满分12分）
（1）；……2
（2）如图，∵，点的反射点在直线上，
∴点的反射点，
∴“点”在直线上，
∴，
∴；……6
（3）设点的坐标为
∵点关于直线的反射点为，点为，
∴
又∵三角形为直角三角形
∴
过作于点
则
∴
又∵
∴
解得 ．……8
∴
当时， 即
即
当时， 即
即
综上所述：共有4个坐标分别为，，
，．……12
