2024—2025学年上学期八年级期中试题
数 学
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题3分，共30分）
1.在实数，，，，0.1010010001中，无理数有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列各组数能构成勾股数的是（ ）
A.2，， B.12，16，20 C.，， D.，，
3.下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A.航海东路 B.大卫城负二层停车场
C.奥斯卡影城3号厅2排 D.东经，北纬
5.下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x函数的是（ ）
A. B. C. D.
6.若点在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A.图象不经过第二象限
B.图象与x轴的交点是
C.将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D.点和在一次函数的图象上，若，则
8.已知点在第二象限，则直线的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.如图1是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形.若图1中的直角三角形的长直角边为4，大正方形的面积为20，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，则图3中阴影部分的面积为（ ）
图1 图2 图3
A.12 B.10 C.8 D.6
10.如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点C落在点的位置，第2次滚动使点D落在点的位置……按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
11.的立方根是________.
12.比较下面两个实数的大小：________（填“>”“<”或“=”）.
13.写出一个不经过第一象限且y随着x的增大而减小的一次函数表达式：________.
14.如图，正方形地砖，边长为，中间竖有一根宽为的木条，木条高为.一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间的木条，则它至少要走________cm.
15.如图，在中，，，，射线与边交于点D，E，F分别为，的中点，设点E，F到射线的距离分别为m，n，则线段的最小值为________，的最大值为________.
三、解答题（共75分）
16.计算：（10分）
（1）；
（2）.
17.（9分）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点C的坐标是，除此之外，没有其他信息.
图1 图2
（1）如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图1的方格纸中画出这个平面直角坐标系；
（2）请你将这个平面直角坐标系向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图2的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”C点的坐标.
18.（9分）近期，某中学掀起了项目化学习的热潮，陈老师带领数学兴趣小组查阅了各种古籍，同学们对古代漏刻产生了浓厚的兴趣，并开展了研究性学习。
项目主题：探究我国古代漏刻，并自制漏刻.
项目背景：在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，水钟在古代也叫“漏刻”或“漏壶”.图1是原始漏刻的示意图.其原理是水从上面的漏水壶慢慢漏人下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）.以此来计时.图2是唐代制造的四级漏刻.
图1 图2 图3
驱动任务：探究漏刻的原理.
研究步骤：
①自制图3所示的“漏壶”；
②为了提高计时的准确性，需稳定“漏水壶”的水位；
③打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的浮子的高度与经历的时间逐渐增加，读出“受水壶”中浮子上的刻度，就可以确定时间；
试验数据：
t（min） 10 15 20 25
h（mm） 1.25 1.875 2.5 3.125
④分析数据，得出结论.
问题解决：
请根据此次项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）根据表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度h（mm）与经历的时间t（min）符合现阶段你所学的哪种函数，并求出相应的函数表达式；
（2）如图3，受水壶中的水位最大高度为180mm，若受水壶中的浮子上升到最大高度180mm时，可以表示的时间是24h，则当浮子的高度为112.5mm时，求出此时可以表示的时间.
19.（9分）阅读下面的文字，解答问题：
如图1，教材P21页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
图1 图2
图3 图4
（1）所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为________dm；如图2，数轴上点A表示的数是________；
（2）观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的面积是________，边长是________；
（3）如图4，在数轴上作出（2）中正方形边长的对应点P（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（4）在（3）题的数轴上，表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数.
20.（9分）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定嬴，现在小明让小亮先跑若干米，图中，分别表示两人所跑的路程与小明追赶时间的关系.
（1）反映小明所跑路程与时间之间关系的图象是________（填写“”或“”）；
（2）求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么；
（3）小明和小亮谁将赢得这场比赛？请说明理由；
（4）小明出发________s时，两人相距3m.
21.（9分）探究一：如图1，P，Q，M均为正方形.
图1 图2 图3
问题：（1）若图1中的为直角三角形，P的面积为3，Q的面积为10，则M的面积为________；
（2）若P的面积为，Q的面积为，同时M的面积为，则为________三角形.
探究二：图形变化：
（3）如图2，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由；
（4）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为6和8，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由.
22.（10分）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题.大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，.
图1 图2
请你运用所学知识，解决下面的问题：
（1）如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度；
（2）如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点.将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处.求线段的长度.
23.（10分）【模型建立】
如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：.
图1 图2
【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题：
①点C的坐标是________，点A的坐标是________；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________；
（2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式.
图3 备用图
