2024～2025学年度第一学期狮山镇初中期中教学质量监测试题
九年级数学
说 明：本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在
答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，正确的变形是（ ）
A． B． C． D．
3．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为10，则这个矩形的面积为（ ）
A．25 B．50 C． D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．已知四边形是平行四边形，，相交于点，下列结论错误的是（ ）
A．， B．当时，四边形是菱形
C．当＝90°时，四边形是矩形
D．当且时，四边形是正方形
6．已知线段、、、成比例，其中＝2cm，＝4cm，＝5cm，则等于（ ）
A．1cm B．10cm C．cm D．cm
7．在某班联谊会上，每两名学生握手一次，共握手630次．若设参加学生为名，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如右图，△中，＝76°，＝8，＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
9．在正方形中，边长=4，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（ ）．
A． B． C．1 D．
第9题图 第10题图
10．如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6
填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若，则= ．
12．某同学为了估算瓶子中有多少颗豆子，首先从瓶中取出60颗并做上记号，接着将所有做好记号的豆子放回瓶中充分摇匀，当再从瓶中取出100颗豆子时，发现其中有12颗豆子标有记号，根据实验估计该瓶装有豆子大约 颗．
13．若，是方程的两个根，则的值为 ．
14．如图，在中，＝90°，于点，＝2，＝4．则= ．
第14题图 第15题图
15．四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，＝1，则矩形的面积为 ．
．
解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解一元二次方程：．
17．某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用，，依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
18．如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接．
(1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：四边形是菱形．
解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到离地面1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”你认为小胖的话对吗？请你画图分析说明．
20．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
21．如图，＝＝90°，、分别是、的中点，＝10，＝6．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由．
（2）你能求出的长吗？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，
则原方程可化为，即；
解得．
∵，
∴．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
（1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为 ．
（2）已知实数、满足，求的值．
（3）解方程．
23．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点（0，4），将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，＝30°
（1）求点的坐标；
（2）如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数．
