二次函数易错题 专项训练
一．选择题（共12小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＞0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b 4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4ax﹣1+a的图象经过四个象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．0＜a＜1 C．a≥1 D．﹣1＜a＜0
3．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
4．在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使0的是（ ）
A．y（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0）
C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+7
5．如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线y＝x2+2kx﹣k2的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或1 B．﹣5 C．1 D．5
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣1≤x≤2时，y的最大值为7，则a的值为（ ）
A．1或﹣4 B．1 C．2或﹣2 D．2
8．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（ ）
A．13 B．18 C．24 D．36
9．已知点P（x1，2024），Q（x2，2024）（x1≠x2）在二次函数y＝ax2+bx+1的图象上，则当x＝x1+x2时，y的值为（ ）
A．1 B．2025 C．﹣1 D．2024
10．定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为（ ）
A．22 B．1 C．1 D．22
11．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
12．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1≤m＜0
二．填空题（共1小题）
13．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ．
三．解答题（共2小题）
14．如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线AC的函数解析式为．
（1）求点A，C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
15．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+3．
（1）若点M（a﹣3，m），N（a+5，n）在抛物线上，则m n；（用“＞”或“＜”填空）
（2）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的任意两个点，若对于﹣1≤x1≤5且x2＝5，都有y1≥y2，求a的取值范围．
二次函数易错题 专项训练
一．选择题（共12小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＞0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b 4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④．
【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+c＝4a，
∵a＞0，
∴9a+c＞0，
∴9a+4c＞0，故③错误；
④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4ax﹣1+a的图象经过四个象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．0＜a＜1 C．a≥1 D．﹣1＜a＜0
【思路点拔】根据题目中的解析式和二次函数的性质可以求得a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝ax2+4ax﹣1+a＝a（x+2）2﹣3a﹣1，
∴二次函数的对称轴是直线x＝﹣2，
①当a＞0时，
∵二次函数y＝ax2+4ax﹣1+a的图象经过四个象限，
∴当x＝0时，y＝﹣1+a＜0，
∴a＜1；
②当a＜0时，
∵二次函数y＝ax2+4ax﹣1+a的图象经过四个象限，
∴当x＝0时，y＝﹣1+a＞0，
∴a＞1，
综上，0＜a＜1，
故选：B．
3．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【思路点拔】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
4．在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使0的是（ ）
A．y（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0）
C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+7
【思路点拔】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【解答】解：A、y（x＞0）中，k＝2＞0，则当x＞0时，y随x的增大而减小，
即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
此时0，
故A选项不成立；
B、∵y＝x2﹣4x﹣1的对称轴为直线x＝2，
∴当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜2时，当x1＞x2时，必有y1＜y2，
此时0，
故B选项不成立；
C、∵y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）的对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
∴当x＜0时，当x1＞x2时，必有y1＞y2，
此时0，
故C选项成立；
D、∵y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
此时0，
故D选项不成立；
故选：C．
5．如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：（S1，S2），（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S3，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共9种，
∴将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
故选：D．
6．已知抛物线y＝x2+2kx﹣k2的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或1 B．﹣5 C．1 D．5
【思路点拔】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2kx﹣k2的对称轴在y轴左侧，
∴x＝﹣k＜0，
∴k＞0．
∵抛物线y＝x2+2kx﹣k2＝（x+k）2﹣2k2．
∴将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+k﹣2）2﹣2k2+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（k﹣2）2﹣2k2+1，
解得k1＝1，k2＝﹣5（舍去）．
故选：C．
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣1≤x≤2时，y的最大值为7，则a的值为（ ）
A．1或﹣4 B．1 C．2或﹣2 D．2
【思路点拔】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由x≤﹣2时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a2+3，
∴抛物线对称轴为直线x1，
∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，a＞0，
∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝a+2a+a2+3＝7，
解得a＝﹣4（舍）或a＝1，
故选：B．
8．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，则m2+n2的值为（ ）
A．13 B．18 C．24 D．36
【思路点拔】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣（2m+2n）x﹣6n+9与y＝x2+（5m﹣n）x+m2关于x轴对称，
∴﹣y＝x2+（2m+2n）x+6n﹣9，
∴x2+（2m+2n）x+6n﹣9＝x2+（5m﹣n）x+m2，
∴，
解得m＝3，n＝3，
∴m2+n2＝18．
故选：B．
9．已知点P（x1，2024），Q（x2，2024）（x1≠x2）在二次函数y＝ax2+bx+1的图象上，则当x＝x1+x2时，y的值为（ ）
A．1 B．2025 C．﹣1 D．2024
【思路点拔】依据题意，由点P（x1，2024）．Q（x2，2024）（x1≠x2）在二次函数y＝ax2+bx+1的图象上，从而该抛物线的对称轴是直线x，故x1+x2，可得当x＝x1+x2时，即x，代入抛物线解析式计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵点P（x1，2024）．Q（x2，2024）（x1≠x2）在二次函数y＝ax2+bx+1的图象上，
∴该抛物线的对称轴是直线x．
∴x1+x2．
∴当x＝x1+x2时，即x，则y＝ab1＝1．
故选：A．
10．定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为（ ）
A．22 B．1 C．1 D．22
【思路点拔】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值，本题得以解决．
【解答】解：当﹣x2+2≥﹣2x时，
解得，1x≤1，
∴当1x≤1时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣2x，此时，当x＝1时，﹣2x取得最大值﹣2+2；
当﹣x2+2≤﹣2x时，
解得，x≤1或x≥1，
∴当x≤1或x≥1时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣x2+2，此时，当x＝1时，﹣x2+2取得最大值﹣2+2；
由上可得，min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为22，
故选：A．
11．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【思路点拔】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；
③当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
12．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1≤m＜0
【思路点拔】首先结合二次函数的图象可知m＜0，再由顶点式写出顶点坐标，结合翻折后点的坐标特征写出翻折后的二次函数解析式，即可解决问题．
【解答】解：因为翻折后与x轴有4个交点，
所以m＜0，
又因为二次函数y＝x2﹣2x+m顶点为（1，m﹣1），
顶点（1，m﹣1）关于l的对称点为（1，m+1），
因为翻折后的图象与原来图象开口相反，
所以翻折后二次函数为y＝﹣（x﹣1）2+m+1，
所以m+1＞0，
所以m＞﹣1，
故答案为：﹣1＜m＜0，
故选：B．
二．填空题（共1小题）
13．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ﹣1＜n＜0 ．
【思路点拔】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．
故答案为：﹣1＜n＜0．
三．解答题（共2小题）
14．如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线AC的函数解析式为．
（1）求点A，C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
【思路点拔】（1）在直线yx+2中分别令x＝0和y＝0，可得A和C的坐标；
（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；
（3）方法一：过M点作MH⊥x轴，与AC交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接OM，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标．
【解答】解：（1）对于一次函数．
令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝4，
∴A（0，2），C（4，0）；
（2）将A（0，2），C（4，0）代入得：
，
解得，
∴；
（3）方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线x＝1，
∴B（﹣2，0），
∴S△ABC2×6＝6，
如图1，过点M作直线l∥y轴交直线AC于点N，
设则，
∴，
∴，
∵0＜a＜4，
∴当a＝2时，四边形ABCN最大值为8且M（2，2）；
方法二：由（1）知：，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
∵C（4，0），∴B（﹣2，0），
如图2，连接OM，设，
∴S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△COM
2×22a4（a+2）
2a+6
8，
∴当a＝2时，四边形ABCM的面积有最大值，最大值为8，此时M（2，2）．
15．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+3．
（1）若点M（a﹣3，m），N（a+5，n）在抛物线上，则m ＜ n；（用“＞”或“＜”填空）
（2）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的任意两个点，若对于﹣1≤x1≤5且x2＝5，都有y1≥y2，求a的取值范围．
【思路点拔】（1）根据抛物线的开口向上及点M和N离对称轴的远近即可解决问题．
（2）对抛物线的对称轴的位置进行分类讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
抛物线的对称轴是直线x＝a，
又a﹣（a﹣3）＝3，a+5﹣a＝5，
且3＜5，
所以点M离抛物线的对称轴更近，
又抛物线的开口向上，
所以m＜n．
故答案为：＜．
（2）因为对于﹣1≤x1≤5且x2＝5，都有y1≥y2，
且抛物线的开口向上，
所以只有当抛物线的对称轴在直线x＝5及其右侧的位置时才满足要求．
所以a的取值范围是a≥5．
