2024-2025学年辽宁省鞍山八中高三（上）第二次模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限．记且则( )
A. B. C. D.
5.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，为边上一点，，，，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中是真命题的是( )
A. “”是“的最小正周期为”的必要不充分条件
B. 已知平面向量，的夹角为，，，则
C. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平行移动个单位长度
D. 函数是定义在上的偶函数且在上为减函数，，则不等式的解集为
10.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 是以为周期的周期函数
C. D.
11.在中，，，所对的边分别为，，，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 的最大值为
C. D. 角的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时满足下列条件的数列的通项公式 ______．
是常数，，且；
；
的前项和存在最小值．
13.某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为米，轮上最低点与地面的距离为米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟在圆周上均匀分布个座舱，标号分别为可视为点，在旋转过程中，座舱与地面的距离单位：米与时间单位：分的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟，则号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为______．
14.已知函数在上单调递增，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递减区间；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在的值域．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点的切线方程；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若为锐角三角形，，求周长范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
若，，求的取值范围．
19.本小题分
根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数分别对中的，，部分求导，并使之为，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点，的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量进行求导即拉格朗日乘数法方程组之中的，，表示分别对，，进行求导．
求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
利用拉格朗日乘数法求：设实数，满足，求的最大值．
若，，为实数，且，证明：．
设，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：，
令，则，
函数的单调递减区间为：．
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，得到的图象，
，
，，，
，
即的值域为：．
16.解：，，
，
当时，，
，
，，
曲线在点的切线方程为：，
即．
当时，令，得；令，得；
当时，令，得或；
当，即时，令，得或；
令，得；
当时，即时，则恒成立；
当时，即时，令，得或；令，得；
综上所述：当时，在上递减，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递减；
当时，在和上递减，在上递增．
17.解：，
根据余弦定理可得，
，
，又，
；
为锐角三角形，又，
，，
又根据正弦定理可得：，
，，又，
周长为
，
又，，
，
，
周长范围为．
18.解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
不妨设，函数定义域为
可得，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，，；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数取得极小值，极小值，无极大值；
若，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
当时，，，所以，
当，时，，所以，
此时在上恒成立，
则函数在定义域上恒成立，
所以在上单调递增，
当，即时，，
所以函数单调递增，
则恒成立，符合题意；
当，即时，
因为，，
所以在区间上存在一点，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，不符合题意，
综上，满足条件的的取值范围为．
19.解：函数，对变量求导得：，
当时，．
令，
则，解得或，
于是函数在约束条件的可能极值点是，，
当时，函数的一个极值为函数，
当时，函数的一个极值为函数，
方程视为关于的方程：，则，解得，
视为关于的方程：，则，解得，
因此函数对应的图形是封闭的，而，
所以的最大值为．
由，，，，设，
则，
当且仅当时取等号，
所以．
当时，
，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值．
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