17.【解析】(1)f'(x)=lnx+1-2a.x,f'(1)=1-2a,则(1-2a)×2=-1,解得a=
。…5分
(2)r'(x)=lnx+1-2ax,
由题设可知f'(x)=0有两个不同的零点，且F'(x)在零点的附近f'(x)的符号发生变化.
令g(x)=lnx+1-2ar.则g()=子-2a.…
6分
若a≤0，则g'(x)>0,则g(x)在(0，十o∞)上为增函数，
g(x)在(0，十0∞)上至多有一个零点.…
8分
当a>0时，若0
若>品则()<0，放)在（分十∞）上为减函数，
故8)=8分）=ln六>0，故0
又<品且g(白）=-兽<0，故g)在0，会上存在-个零点：
11分
下证当t>2时，总有2ln
当>2时，h'()=2兰<0，故h()为(2，十∞)上的减函数，
故h(t)
令t=√F,x>4,则lnx<√F,
放当x>4时，有g(x)
16a
有G+1-2ar=-2a(W不-1十于应)(wE-1-+80)<0.
Aa
Aa
故g()<0,故在（会十）上，存在实数x,使得g)<0,
由零点存在定理及gx)的单调性可得gx)在（分十）上存在一个零点，
综上可知，实数a的取值范围是(0，一)。
15分
18.【解析11)因为号+号+…十号=3-2n士，
2
①
所以号+号+…十==3-(≥2).
2n+1
②
①-②得号-20，得a,=21-1
2
5115511n119g51g5055119115n1g51111010ng51550
3分
当=1时，①式为号=3-号-宁得@，=1，也满足上式，
4分
所以an=2n一1，数列(an}是等差数列，所以S,=
2(1+2n-1)
2
6分
(2)4,=a1=1,a,=ae=3,则数列{a,}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以a,=3"-l,
又a6.=2k。-1,所以2k。-1=3-1,得kn=
3-1+1
9分
2025届·普通高中名校联考信息卷（月考一）·数学参考答案
5
得工，=+十
12分
4
令5≥T,即r≥3”+2m-1,即n-2n+1≥1(*)
4
3"
14分
当=1,2,3时，经验证，(*)式满足要求.
令f(n)=4m-2n+1
3"
则f(n+1)-f()=4n十1)-2(n+1)+1-4m-2n+1=4u(3-2)
3+7
3
3"+7
所以当≥4时m)≤4)贸<1.即当≥4时.()式不成立
所以使得S.≥T.成立的的取值范固是{1,2,3，
17分
19.【解析】1)由f代x)=z+ln,得f'(x)=1+
f(xo）
由y=f(x)+f'(x)(x-x),当f'()≠0时，得=一2)
……”2分
则x,=,-+ln西=+1--ln无=(1-ln
1+
xo+1
2,而=1，
1+
所以x=
1
3分
同理将宁代人可得中
+1
3
,…”4分
(2①油工+，=-=g(x),得gx=-h卫
x。十1
,x>0.
x+1
所以h(x》=x(lnx一1)一lnx十e一e-,……6分
所以'(x)=nx-上十e十e.
由fr)=0,得lnr+r=0r=ln1台e=
片er=
所以'(r）=-r-十e+e=0,且
所以h'(x)在(0，r)上为负，在(r,+∞)上为正，即h(x)在(0，r)上单嗣递减，在(r,+∞)上
单调递增，
所以h(x)在r=r处取得最小值m=h(r)=rlnr一r一lnr十e一e.…11分
②证明：由①知h(r)=(r-1)lnr+e一e-r-r=(r-1)(-r)+e一2r=e-r2一r,
…13分
记F(x)=e一x2一x,则F(x)=e一2x-1,再次求导得F(r)=e一2.
易知F(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2,十o∞)上单调递增.
而F(0)=0,F(1)=e一30，所以F(r)<0在(0,1)上恒成立，
所以F(x》在(0,1)上单调递减。…15分
由①可知2<<1，所以F()
17分
6
2025届·普通高中名校联考信息卷（月考一）·数学参考答案2025届·普通高中名校联考信息卷（月考一）
(高考研究卷)
数
学
(考试范围：集合与逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量与复数、数列与立体几何)
考生注意：
1.本试卷共150分，考试时间120分钟.
2.请将答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，
1.复数x满足(3-4i)z=4+3i,则在复平面内之对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.设集合A={xlog.5(x-1)>0},B={x2r<4},则
A.A=B
B.A∩B=
C.A∩B=B
D.AUB=B
3.已知向量a与b是非零向量，且满足a一b在b上的投影向量为一2b,|a|=2|b,则a与b
的夹角为
A.120°
B.150°
C.60
D.90
4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》
40cm
(1247年).该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四
个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验
40 cm
雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量
20 cm
(平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积)，已知数据如
图（单位：cm),则平地降雪厚度的近似值为
20cm
A器omn
Bcm
c管m
P留m
5.定义：满足+2.a+1=g(q为常数，n∈N·)的数列{an}称为二阶等比数列，q为二阶公比.
antl
an
已知二阶等比数列{am}的二阶公比为√2，a1=1,a2=2,则使得am>2024成立的最小正整
数n为
A.7
B.8
C.9
D.10
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6.已知函数f(x)=(一e)·x八，若m满足f(logam)十f(1og6m)<2(e一上)，则实数m的
取值范围是
A22》
B.(2,十o∞)
C.(0,2)
D.(0,2)U(2,+∞)
7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 asin A一bsin B=3 csin C,若S表示
△ABC的面积.则的最大值为
A
By①0
6
C23
3
n号
&已知函数fx)=4cos(aur-是)(w>0),f(x)在区间[0，号]上的最小值恰为一a,则所有满
足条件的w的积属于区间
A.(1,4]
B.[4,7]
C.(7,13)
D.[13,+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.下列结论正确的是
1
A若a
B若x∈R,则x+2+2十2的最小值为2
C.若a十b=2,则a2十的最大值为2
D.若xE0,2).则2+2≥2
10.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x十1)是奇函数，且f(一1十x)=f(一1一x),当x∈
[-1,1]时，f(x)=x2一1，则下列结论正确的是
A.f(x)的周期T=4
Bf3)-
C.f(x)在区间[一5，一4]上单调递增
D.f(x十2)是偶函数
11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=√2，AB=AP=PD=1,平面PAD⊥平
面ABCD,点M在线段PC上运动（不含端点），则
A.存在点M使得BD⊥AM
B.四棱锥P-ABCD外接球的表面积为3π
C.直线PC与直线AD所成角为
D.当动点M到直线BD的距离最小时，过点A,D,M作截面交PB于点N,则四棱锥
P-ADMN的体积是君
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列{am}满足a1=1,2a+1一an十ana+1=0(n∈N),则数列{an}的通项公式为
13.已知函数f(x)=2sin(wz+牙)(w>0),若f(x)=f(x2)=-3,一x的最小值为受，
则f8)=
2
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