利辛县县直初中2024—2025学年度（上）期中教学质量检测
九年级数学试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
2．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数，其中，则该函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
4．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度约是（结果精确到．参考数据：（ ）
A． B． C． D．
5．如图：，下列哪个补充条件不能使（ ）
第5题
A． B．
C． D．
6．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（ ）
图6
A．9 B．12 C．15 D．18
7．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为（ ）
图7
A． B． C． D．
8．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三个方案都是最佳方案
9．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．已知，则______．
12．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为______．
13．如图，中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是-3，则点的对应点的横坐标是______，
14．如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为______．
三、解答题（共90分）
15．（8分）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标．
16．（8分）如图，正方形中，是上一点，过作交于点，连接．
（1）证明：．
（2）当时，求的长．
17．（8分）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？
18．（8分）如图，在Rt中，，点从点出发沿线路作匀速运动，点从的中点同时出发沿线路做匀速运动逐步靠近点，设两点运动的速度分别为每秒1个单位长度、每秒个单位长度，它们在秒后于边上的某一点相遇．若以为顶点的三角形与相似，求与的值．
19．（10分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中五点在同一直线上，三点在同一直线上，且．已知小明的身高为1.8米，求旗杆的高．
20．（10分）反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于
两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）一次函数的图象与轴交于点，连接，求的面积．
21．（12分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
每千克售价（元） … 20 22 24 …
日销售量（千克） … 66 60 54 …
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
22．（12分）如图，和的顶点重合，．
（1）如图①，当点分别在上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；
（2）探究证明：如图②，将图①中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，并求出线段的长度；若不成立，请说明理由．
23．（14分）已知：如图，二抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，求面积的最大值；
（3）如图2，若抛物线上点的横坐标为—4，且的面积为，求点的坐标．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B C C A C D C
二．填空题
11． 12．-4 13．3 14．
15．解：根据题意得，解得，
所以该二次函数的解析式为；
，抛物线的顶点坐标为．
16．（1）证明：四边形是正方形
（2）解：，，，
17．解：（1）设这条抛物线所对应的函数关系式是，
该函数过点，解得
所以这条抛物线所对应的函数关系式是
（2）当时，
即在对称轴右边处，桥洞离水面的高是，
18．解：．
（1）若，则，
点的路程．
点的路程．
（2）若，则，
点的路程，，
点的路程．
或
19．解：．
又．
．
．
同理，，
．
（米）．
旗杆的高为3米．
20．解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
．
将点坐标代入，
得，解得，
．
画出函数图象如图；
（2）或；
（3）如解图，一次函数的图象与轴交于点，
，
．
过点作轴垂线交轴于点，则，
．
21．解：（1）设与之间的函数关系式是，
当时，，当时，，
，解得，
与之间的函数关系式是；
（2）设批发商日销售利润为元，根据题意，
得，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，
答：当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
22．解：（1）（或垂直）；
【解法提示】，
即在中，与的延长线交于点，．
（2）结论成立．证明如下：
在中，，同理得，
，即，
，
，
即；
设，则，又，
在中，，
整理得：，解得：（舍去），．
即
23．解：（1）抛物线过点，且其对称轴为直线
抛物线过点
设二次函数的解析式为，把代入，得：．
二次函数的解析式为．
（2）设的解析式为，把点代入，得．
的解析式为．
如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．
设点，
则点
面积的最大值为12．
（3）点的横坐标为—4，
，直线的解析式为．
连接，则轴．
过点做交轴于点．则
．
，
点的坐标为
，直线的解析式为，
直线的解析式为．
点为抛物线与直线的在第二象限内的交点，
解方程组，或（舍去）
点的坐标为．
