浙江省金华市兰溪市第八中学2023-2024学年上学期学习能力调查（一）九年级数学试题
1．（2023九上·兰溪月考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可.
2．（2023九上·兰溪月考）电影《满江红》备受观众喜爱，截止到2023年3月初，累计票房45.39亿元，45.39亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.539×107 B．45.39×108 C．4.539×109 D．4.539×1010
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 45.39亿 =4539000000=4.539×109.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2023九上·兰溪月考）已知⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O外 C．⊙O上 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 的半径为6，点P到圆心O的距离为4，且 ，
点P在 内，
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系即可得．
4．（2023九上·兰溪月考）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限.
5．（2023九上·兰溪月考）小惠将一根绳子进行黄金分割，分割后较短绳子的长度（3﹣）米，则这根绳子的总长度为（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设这根绳子的长度为x米，由题意得
解得x=2，
∴这根绳子的总长度为2米.
故答案为：C.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此并结合黄金比可得较长线段是全长的，从而列出方程，求解即可.
6．（2023九上·兰溪月考）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．75°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，
∴∠A=90°-∠ABD=35°，
∵，
∴∠BCD=∠A=35°．
故选：A．
【分析】连接AD，先利用直径所对的圆周角是直角及三角形的内角和求出∠A=90°-∠ABD=35°，最后利用圆周角的性质可得∠BCD=∠A=35°．
7．（2023九上·兰溪月考）由平移得到抛物线，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：设(x，y）经过平移得到，则原抛物线经过平移得到
抛物线，即，所以平移坐标公式为：
，即，
∴平移过程为：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
故答案为：B ．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
8．（2023九上·兰溪月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，如图所示：
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1 cm，
∴OG＝cm，
∴S△AOB＝AB OG＝×2×＝cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝cm2．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，先求出⊙O的半径，再求出OG＝cm，再利用三角形的面积公式求出S△AOB＝AB OG＝×2×＝cm2，最后求出正六边的面积即可.
9．（2023九上·兰溪月考）已知二次函数，当时，函数的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．19
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ = 2（x-2）2+1，二次函数的开口向上，对称轴为x=2，
∴当x=2时，y取得最小值，
当时，2-1=1，5-2=3，
∴当x=5，y取得最大值，为 2×（5-2）2+1=19.
故答案为：19.
【分析】先将二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的开口向上和对称轴为x=2，最后根据到对称轴的距离越远，y的值最大，即可判断得出答案.
10．（2023九上·兰溪月考）已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴交于点，
∴，故正确；
∵图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，
∴对称轴为直线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
设，则，而，
∴，
∴，
∴，故正确；
由题意得，，
∴，
∴，故正确；
综上所述：正确的有，共个正确，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
11．（2023九上·兰溪月考）使 在实数范围内有意义的x的取值范围是 .
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵x-1≥0，
∴x≥1.
故答案是： .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解.
12．（2023九上·兰溪月考）如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为 度.
【答案】60
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 扇形的半径是1，弧长是 ，
，即 ，
解得： ，
此扇形所对的圆心角为： .
故答案为：60.
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
13．（2023九上·兰溪月考）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
【答案】
【知识点】圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，如图所示：
，，
，
，
故答案为：．
【分析】先证出当AC取得最大值时，MN就取得最大值，再结合求出即可.
14．（2023九上·兰溪月考）如图，在 ABCD中，点E在DC边上，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，；
四边形ABCD是平行四边形，
，；
∽；
；
，
．
故答案为：．
【分析】先证出∽，可得，再结合求出即可.
15．（2023九上·兰溪月考）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】连接，作，
，
∴直线，设垂足为点，
，
，，
，
，
①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，
②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，
故答案为：或．
【分析】先利用垂径定理和勾股定理求出，再分类讨论：①当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为；②如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，再分别利用线段的和差求出MN的长即可.
16．（2023九上·兰溪月考）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
故抛物线的顶点为： ；
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”，
∴ ，如图所示，图象实心点为8个“整点”，
则符合条件的抛物线过点 和点 上方，并经过点 和点 下方，
当抛物线过点 上方时， ，解得： ；
当抛物线过点 上方时， ，解得： ；
当抛物线过点 下方时， ，解得： ；
当抛物线过点 下方时， ，解得： ；
∵四个条件同时成立，∴
故答案为： .
【分析】如图所示， ，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A、B之间 不含点 ，即可求解.
17．（2023九上·兰溪月考）化简求值： ，其中 ， .
【答案】解：原式
将 ， 代入，原式 .
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】通过整式的混合运算对原式先进行化简，再将 和 的值代入即可得解.
18．（2023九上·兰溪月考）在一个不透明的盒子里有红球、黄球、绿球各一个，它们除了颜色外其余都相同，小颖从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色．请用列表法或画树状图法，求小颖两次摸出的球颜色相同的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小颖两次摸出的球颜色相同的结果有3个，
小颖两次摸出的球颜色相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
19．（2023九上·兰溪月考）一次函数与反比例函数交于点 A (1，3)，B (3，m)，
(1)分别求两个函数的解析式；
(2)根据图像直接写出，当x为何值时，；
【答案】解：（1）把A（1，3）代入，
得n=1×3=3，
∴反比例函数解析式为，
把B（3，m）代入，
得3m=3，解得m=1，
∴B（3，1），
把A（1，3），B（3，1）代入y1=kx+b，
得，解得：，
∴一次函数解析式为y1=-x+4；
（2）根据图可知：当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2．
故答案为：（1）y1=-x+4，；（2）0＜x＜1或x＞3.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用点A的坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式求出k、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．（2023九上·兰溪月考）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD=∠ABC；
（2）若AD=6，求的长．
【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC；
（2）解：∵∠CAD=∠ABC，
∴=，
∵AD是⊙O的直径，且AD=6，
∴∠ABD=90°，OD=3，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC=45°，
∴的长=．
故答案为：π．
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠DBC=∠ABC，利用圆周角的性质可得∠CAD=∠DBC，再利用等量代换可得∠CAD=∠ABC；
（2）先求出∠ABD=90°，OD=3，再求出∠DBC=∠ABC=45°，最后利用弧长公式求出的长=即可.
21．（2023九上·兰溪月考）在△ABC中，AB=AC，在BC上取点E，连结AE并延长至点D，使得∠D=∠C.
(1)求证：△ABE∽△ADB.
(2)若DE=1， AE=5，求AC的长.
【答案】解：（1）如图所示：
∵AB=AC，∴∠1=∠C，
∵∠D=∠C，
∴∠1=∠D，
又∵∠2=∠2，
∴△ABE∽△ADB；
（2）由（1）得△ABE∽△ADB，
∴，即，
∴，
∴AC=AB=.
故答案为：.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用等量代换证出∠1=∠D，再结合∠2=∠2，证出△ABE∽△ADB即可；
（2）利用相似三角形的性质可得，即，再将数据代入求出AC=AB=即可.
22．（2023九上·兰溪月考）“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.
（1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求每天的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：y=（30-x）×1×1000+6000=-1000x+36000.
∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=-1000x+36000.
故答案为：y=-1000x+36000.
（2）解：根据题意得：w=（x-20）（-1000x+36000）=-1000x2+56000x-720000.
∴每天的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为w=-1000x2+56000x-720000.
故答案为：w=-1000x2+56000x-720000；
（3）解：w =-1000x2+56000x-720000=-1000（x-28）2+64000.
∵a=-1000＜0
∴当x=28时，w有最大值为64000.
答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
故答案为：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶 ”列出函数解析式y=-1000x+36000即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式w=-1000x2+56000x-720000即可；
（3）将二次函数解析式w=-1000x2+56000x-720000变形为y=-1000（x-28）2+64000，再利用二次函数的性质求解即可.
23．（2023九上·兰溪月考）【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】(1)
（2）解：成立；理由如下：
延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
故答案为：或.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（2）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（3）分类讨论：①当点E在线段上时，连接，②当点D在线段上时，连接，再分别画出图形并利用相似三角形的判定方法和性质列出方程求解即可.
24．（2023九上·兰溪月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
故答案为：y＝－x2－2x＋3.
（2）解：过点作轴交于点，如图1所示：
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
故答案为：.
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，如图所示：
∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，如图所示：
∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，再将数据代入可得，求出OA的值，即可得到点A、B、C的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） 过点作轴交于点， 先求出直线BC的解析式， 设，则， 利用割补法求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当点在轴上方时， ②当点在轴下方时， 再分别画出图象并求解即可.
（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交于点，
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．
①当点在轴上方时，∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
浙江省金华市兰溪市第八中学2023-2024学年上学期学习能力调查（一）九年级数学试题
1．（2023九上·兰溪月考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·兰溪月考）电影《满江红》备受观众喜爱，截止到2023年3月初，累计票房45.39亿元，45.39亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.539×107 B．45.39×108 C．4.539×109 D．4.539×1010
3．（2023九上·兰溪月考）已知⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O外 C．⊙O上 D．无法确定
4．（2023九上·兰溪月考）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023九上·兰溪月考）小惠将一根绳子进行黄金分割，分割后较短绳子的长度（3﹣）米，则这根绳子的总长度为（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米
6．（2023九上·兰溪月考）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．75°
7．（2023九上·兰溪月考）由平移得到抛物线，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
8．（2023九上·兰溪月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·兰溪月考）已知二次函数，当时，函数的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．19
10．（2023九上·兰溪月考）已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2023九上·兰溪月考）使 在实数范围内有意义的x的取值范围是 .
12．（2023九上·兰溪月考）如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为 度.
13．（2023九上·兰溪月考）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
14．（2023九上·兰溪月考）如图，在 ABCD中，点E在DC边上，若，则的值为 ．
15．（2023九上·兰溪月考）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ．
16．（2023九上·兰溪月考）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”，则a的取值范围是 .
17．（2023九上·兰溪月考）化简求值： ，其中 ， .
18．（2023九上·兰溪月考）在一个不透明的盒子里有红球、黄球、绿球各一个，它们除了颜色外其余都相同，小颖从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色．请用列表法或画树状图法，求小颖两次摸出的球颜色相同的概率．
19．（2023九上·兰溪月考）一次函数与反比例函数交于点 A (1，3)，B (3，m)，
(1)分别求两个函数的解析式；
(2)根据图像直接写出，当x为何值时，；
20．（2023九上·兰溪月考）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD=∠ABC；
（2）若AD=6，求的长．
21．（2023九上·兰溪月考）在△ABC中，AB=AC，在BC上取点E，连结AE并延长至点D，使得∠D=∠C.
(1)求证：△ABE∽△ADB.
(2)若DE=1， AE=5，求AC的长.
22．（2023九上·兰溪月考）“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.
（1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求每天的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（2023九上·兰溪月考）【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
24．（2023九上·兰溪月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 45.39亿 =4539000000=4.539×109.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 的半径为6，点P到圆心O的距离为4，且 ，
点P在 内，
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系即可得．
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限.
5．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设这根绳子的长度为x米，由题意得
解得x=2，
∴这根绳子的总长度为2米.
故答案为：C.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此并结合黄金比可得较长线段是全长的，从而列出方程，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，
∴∠A=90°-∠ABD=35°，
∵，
∴∠BCD=∠A=35°．
故选：A．
【分析】连接AD，先利用直径所对的圆周角是直角及三角形的内角和求出∠A=90°-∠ABD=35°，最后利用圆周角的性质可得∠BCD=∠A=35°．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：设(x，y）经过平移得到，则原抛物线经过平移得到
抛物线，即，所以平移坐标公式为：
，即，
∴平移过程为：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
故答案为：B ．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，如图所示：
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1 cm，
∴OG＝cm，
∴S△AOB＝AB OG＝×2×＝cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝cm2．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，先求出⊙O的半径，再求出OG＝cm，再利用三角形的面积公式求出S△AOB＝AB OG＝×2×＝cm2，最后求出正六边的面积即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ = 2（x-2）2+1，二次函数的开口向上，对称轴为x=2，
∴当x=2时，y取得最小值，
当时，2-1=1，5-2=3，
∴当x=5，y取得最大值，为 2×（5-2）2+1=19.
故答案为：19.
【分析】先将二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的开口向上和对称轴为x=2，最后根据到对称轴的距离越远，y的值最大，即可判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴交于点，
∴，故正确；
∵图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，
∴对称轴为直线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
设，则，而，
∴，
∴，
∴，故正确；
由题意得，，
∴，
∴，故正确；
综上所述：正确的有，共个正确，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵x-1≥0，
∴x≥1.
故答案是： .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解.
12．【答案】60
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 扇形的半径是1，弧长是 ，
，即 ，
解得： ，
此扇形所对的圆心角为： .
故答案为：60.
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，如图所示：
，，
，
，
故答案为：．
【分析】先证出当AC取得最大值时，MN就取得最大值，再结合求出即可.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，；
四边形ABCD是平行四边形，
，；
∽；
；
，
．
故答案为：．
【分析】先证出∽，可得，再结合求出即可.
15．【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】连接，作，
，
∴直线，设垂足为点，
，
，，
，
，
①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，
②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，
故答案为：或．
【分析】先利用垂径定理和勾股定理求出，再分类讨论：①当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为；②如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，再分别利用线段的和差求出MN的长即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
故抛物线的顶点为： ；
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”，
∴ ，如图所示，图象实心点为8个“整点”，
则符合条件的抛物线过点 和点 上方，并经过点 和点 下方，
当抛物线过点 上方时， ，解得： ；
当抛物线过点 上方时， ，解得： ；
当抛物线过点 下方时， ，解得： ；
当抛物线过点 下方时， ，解得： ；
∵四个条件同时成立，∴
故答案为： .
【分析】如图所示， ，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A、B之间 不含点 ，即可求解.
17．【答案】解：原式
将 ， 代入，原式 .
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】通过整式的混合运算对原式先进行化简，再将 和 的值代入即可得解.
18．【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小颖两次摸出的球颜色相同的结果有3个，
小颖两次摸出的球颜色相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
19．【答案】解：（1）把A（1，3）代入，
得n=1×3=3，
∴反比例函数解析式为，
把B（3，m）代入，
得3m=3，解得m=1，
∴B（3，1），
把A（1，3），B（3，1）代入y1=kx+b，
得，解得：，
∴一次函数解析式为y1=-x+4；
（2）根据图可知：当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2．
故答案为：（1）y1=-x+4，；（2）0＜x＜1或x＞3.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用点A的坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式求出k、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC；
（2）解：∵∠CAD=∠ABC，
∴=，
∵AD是⊙O的直径，且AD=6，
∴∠ABD=90°，OD=3，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC=45°，
∴的长=．
故答案为：π．
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠DBC=∠ABC，利用圆周角的性质可得∠CAD=∠DBC，再利用等量代换可得∠CAD=∠ABC；
（2）先求出∠ABD=90°，OD=3，再求出∠DBC=∠ABC=45°，最后利用弧长公式求出的长=即可.
21．【答案】解：（1）如图所示：
∵AB=AC，∴∠1=∠C，
∵∠D=∠C，
∴∠1=∠D，
又∵∠2=∠2，
∴△ABE∽△ADB；
（2）由（1）得△ABE∽△ADB，
∴，即，
∴，
∴AC=AB=.
故答案为：.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用等量代换证出∠1=∠D，再结合∠2=∠2，证出△ABE∽△ADB即可；
（2）利用相似三角形的性质可得，即，再将数据代入求出AC=AB=即可.
22．【答案】（1）解：根据题意得：y=（30-x）×1×1000+6000=-1000x+36000.
∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=-1000x+36000.
故答案为：y=-1000x+36000.
（2）解：根据题意得：w=（x-20）（-1000x+36000）=-1000x2+56000x-720000.
∴每天的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为w=-1000x2+56000x-720000.
故答案为：w=-1000x2+56000x-720000；
（3）解：w =-1000x2+56000x-720000=-1000（x-28）2+64000.
∵a=-1000＜0
∴当x=28时，w有最大值为64000.
答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
故答案为：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶 ”列出函数解析式y=-1000x+36000即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式w=-1000x2+56000x-720000即可；
（3）将二次函数解析式w=-1000x2+56000x-720000变形为y=-1000（x-28）2+64000，再利用二次函数的性质求解即可.
23．【答案】(1)
（2）解：成立；理由如下：
延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
故答案为：或.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（2）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（3）分类讨论：①当点E在线段上时，连接，②当点D在线段上时，连接，再分别画出图形并利用相似三角形的判定方法和性质列出方程求解即可.
24．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
故答案为：y＝－x2－2x＋3.
（2）解：过点作轴交于点，如图1所示：
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
故答案为：.
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，如图所示：
∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，如图所示：
∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，再将数据代入可得，求出OA的值，即可得到点A、B、C的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） 过点作轴交于点， 先求出直线BC的解析式， 设，则， 利用割补法求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当点在轴上方时， ②当点在轴下方时， 再分别画出图象并求解即可.
（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交于点，
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．
①当点在轴上方时，∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
