专题10 解三角形
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 正弦余弦定理应用 2024 甲卷 2023 北京 天津 甲 ⅠⅡ卷 2022 Ⅰ卷 2021甲卷 乙卷 浙江 Ⅰ卷 2020 Ⅰ 卷 三角形针线余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点。
考点02三角形中面积周长应用 2024 Ⅰ Ⅱ 北京卷 2023 乙卷 2022 Ⅱ 卷 北京 浙江 乙卷 2021 Ⅱ 北京卷 2020Ⅱ卷 解三角形在高考解答题中，周长面积问题是高考中常考题型，难度一般，容易出现结构不良试题以及与三线相结合，注重常规方法以及常规技巧
考点01 正弦余弦定理应用
1．（2024·全国·高考甲卷）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(2023年北京卷·)在中，，则 ( )
A． B． C． D．
2．(2020年高考课标Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ( )
A． B． C． D．
3．(2021年高考全国乙卷题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 ( )
( )
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
4．(2021年高考全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ( )
A．346 B．373 C．446 D．473
二 填空题
5．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中点，，则___________，___________．
7．(2020年高考课标Ⅰ卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
8．(2023年全国甲卷)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
三 解答题
9．(2023年天津卷)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
10．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
11．(2023年新课标全国Ⅱ卷)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
12．(2021年新高考Ⅰ卷)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
13．(2022新高考全国I卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
15．(2020天津高考)在中，角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求的值；
(Ⅲ)求的值．
16(2020年新高考全国Ⅰ卷)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点02 三角形中面积周长应用
1（2024·全国·高考Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
3．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4．(2023年全国乙卷)在中，已知，，．
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积．
7．(2022高考北京卷)在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
8．(2022年浙江省高考数学试题·)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
9．(2022新高考全国II卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求面积；(2)若，求b．
10．(2022年高考全国乙卷数学)记的内角的对边分别为，已．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
11．(2021高考北京)在中，，．
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；条件③：的面积为；
12．(2020北京高考)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
(Ⅰ)的值：
(Ⅱ)和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
()
专题10 解三角形
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 正弦余弦定理应用 2024 甲卷 2023 北京 天津 甲 ⅠⅡ卷 2022 Ⅰ卷 2021甲卷 乙卷 浙江 Ⅰ卷 2020 Ⅰ 卷 三角形针线余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点。
考点02三角形中面积周长应用 2024 Ⅰ Ⅱ 北京卷 2023 乙卷 2022 Ⅱ 卷 北京 浙江 乙卷 2021 Ⅱ 北京卷 2020Ⅱ卷 解三角形在高考解答题中，周长面积问题是高考中常考题型，难度一般，容易出现结构不良试题以及与三线相结合，注重常规方法以及常规技巧
考点01 正弦余弦定理应用
1．（2024·全国·高考甲卷）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.故选：C.
2．(2023年北京卷·)在中，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，又，所以．故选：B．
2．(2020年高考课标Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由故．故选：A．
3．(2021年高考全国乙卷题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 ( )
( )
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【解析】如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．故选：A．
4．(2021年高考全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ( )
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．故选：B．
二 填空题
5．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】由题意，，
所以，
所以，解得(负值舍去)．故答案为：．
6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中点，，则___________，___________．
【答案】(1)． (2)．
解析:由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得(负值舍去)，所以，
在中，由余弦定理得，
所以；在中，由余弦定理得．
故答案为；．
7．(2020年高考课标Ⅰ卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得．故答案为：．
8．(2023年全国甲卷)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
【解析】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．故答案为：．
三 解答题
9．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：；
(2)由余弦定理可得，，即，
解得：或(舍去)．
(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
10．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1) (2)6
【解析】(1)，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
．
(2)由(1)知，，
由，
由正弦定理，，可得，，
．
11．(2023年新课标全国Ⅱ卷)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)； (2)．
【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以．
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以．
(2)方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以．
12．(2021年新高考Ⅰ卷)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】【解析】
(1)由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证．
(2)由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，．
13．(2022新高考全国I卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】(1)因为，即，
而，所以；
(2)由(1)知，，所以，
而， 所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
15．(2020天津高考)在中，角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求的值；
(Ⅲ)求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得
，又因为，所以；
(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；
(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以．
16(2020年新高考全国Ⅰ卷)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
选择条件①的【解析】
据此可得：，，此时．
选择条件②的【解析】
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的【解析】
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵,
∴, ，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．
17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】【解析】解法一：
由可得：，不妨设，
则：，即．
选择条件①的【解析】
据此可得：，，此时．
选择条件②的【解析】
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的【解析】
可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾．
考点02 三角形中面积周长应用
1（2024·全国·高考Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，所以.
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
3．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
4．(2023年全国乙卷)在中，已知，，．
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．【解析】(1)由余弦定理可得：
，
则，，
．
(2)由三角形面积公式可得，
则．
5．(2021年新高考全国Ⅱ卷)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．
(1)若，求的面积；
(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】解析:(1)因为，则，则，故，，
，所以，锐角，则，
因此，；
(2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故．
6．(2020年高考课标Ⅱ卷)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周长的最大值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由正弦定理可得：，
，
，
(2)由余弦定理得：，
即．
(当且仅当时取等号)，
，
解得：(当且仅当时取等号)，
周长，周长的最大值为．
7．(2022高考北京卷)在中，．
(1)求；
【解析】由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；
(2)由正弦定理得：，则，则，．
10．(2022年高考全国乙卷数学)记的内角的对边分别为，已．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析 (2)14
【解析】【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
即，所以；
【小问2详解】
解：因为，
由(1)得由余弦定理可得，
则，所以，
故，所以，所以的周长为．
11．(2021高考北京)在中，，．
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；条件③：的面积为；
【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．
【解析】(1)，则由正弦定理可得，
，，，，，解得；
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由(1)可得，设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，，
则周长，
解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；若选择③：由(1)可得，即，
则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
．
12．(2020北京高考)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
(Ⅰ)的值：
(Ⅱ)和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得：
选择条件②(Ⅰ)
由正弦定理得：
(Ⅱ)
()
