专题11 平面向量
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 平面向量概念及线性运算 2024天津 2023天津 2022Ⅰ卷 2021 浙江卷 2020北京 Ⅱ卷 平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算
考点02 平面向量的坐标运算 2023 北京 ⅠⅡ卷 2021 乙卷 2020江苏卷 平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。
考点03 平面向量的数量积及夹角问题 2024ⅠⅡ 甲北京 2023 甲 乙卷 2022甲 乙 2021 浙江 Ⅱ卷 2020Ⅱ Ⅲ卷
考点01 平面向量概念及线性运算
一、选择题
3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·) 已知向量，满足，，则______．
4 (2021年高考全国乙卷·)已知向量，若，则__________．
5 (2020江苏高考)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________．
考点03 平面向量的数量积及夹角问题
选择题
1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·全国·高考甲卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5 (2023年全国甲卷) 已知向量满足，且，则( )
A． B． C． D．
6 (2023年全国乙卷) 已知的半径为1，直线PA与相切于点A．直线PB与交于B．C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为 ( )
A． B．
C． D．
7．(2022年高考全国乙卷数学·) 已知向量满足，则 ( )
A． B． C．1 D．2
8．(2020年高考课标Ⅲ卷) 已知向量a，b满足，，，则 ( )
A． B． C． D．
填空题
9．(2021年高考浙江卷·) 已知平面向量满足．记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________．
10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·) 已知向量，，，_______．
11．(2022年高考全国甲卷数学·) 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
12．(2020年高考课标Ⅱ卷·) 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
13．(2021高考北京·第13题) 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________．
()
专题11 平面向量
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 平面向量概念及线性运算 2024天津 2023天津 2022Ⅰ卷 2021 浙江卷 2020北京 Ⅱ卷 平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算
考点02 平面向量的坐标运算 2023 北京 ⅠⅡ卷 2021 乙卷 2020江苏卷 平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。
考点03 平面向量的数量积及夹角问题 2024ⅠⅡ 甲北京 2023 甲 乙卷 2022甲 乙 2021 浙江 Ⅱ卷 2020Ⅱ Ⅲ卷
考点01 平面向量概念及线性运算
一、选择题
1．(2022新高考全国I卷·)在中，点D在边AB上，．记，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因点D在边AB上，，所以，即，
所以． 故选：B．
2. (2021年高考浙江卷)已知非零向量，则“”是“”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B．
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学·)在中，D是AB边上的中点，则= ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】3．
二、填空题
4．(2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
【答案】①． ②．
【解析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，即，则；
：因为，则，可得，
得到，即，即．于是．记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，则时，有最大值．
故答案：；．
5 (2020北京高考)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，，
则点，，，
因此，，．故答案为：；．
6．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
考点02 平面向量的坐标运算
1．(2023年北京卷·)已知向量满足，则 ( )
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量满足，
所以．故选：B
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量，若，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．故选：D．
二、填空题
3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·) 已知向量，满足，，则______．
【答案】
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以．
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即故答案为：．
4 (2021年高考全国乙卷·)已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．故答案为：．
5 (2020江苏高考)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________．
【答案】
【解析】三点共线，可设，，
，即，
若且，则三点共线，，即，
，，,,，，
设，，则，．
根据余弦定理可得，，
，，解得，的长度为．
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去．故答案为：或．
考点03 平面向量的数量积及夹角问题
选择题
1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
3．（2024·全国·高考甲卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
5 (2023年全国甲卷) 已知向量满足，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以,
即,即,所以．
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
当时，有最大值．综上可得，的最大值为．故选：A．
7．(2022年高考全国乙卷数学·) 已知向量满足，则 ( )
A． B． C．1 D．2
【答案】C【解析】∵，又∵
∴9，∴ 故选：C．
8．(2020年高考课标Ⅲ卷) 已知向量a，b满足，，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，．
，
因此，．故选：D．
填空题
9．(2021年高考浙江卷·) 已知平面向量满足．记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】:由题意，设，则，即，
又向量在方向上投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为．故答案为．
10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·) 已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】:由已知可得，
因此，．故答案为：．
11．(2022年高考全国甲卷数学·) 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，所以．
故答案为：．
12．(2020年高考课标Ⅱ卷·) 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：．故答案为：．
13．(2021高考北京·第13题) 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________．
【答案】①． 0 ②． 3
【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，，，
．故答案为：0；3．
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