山东省部分学校2025届高三上学期10月联合教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，，若与平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知事件，满足，则( )
A. 若，则
B. 若与互斥，则
C. 若与相互独立，则
D. 若，则与相互对立
5.已知数列的首项，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
6.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的最小正周期为，则在的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，若有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为正实数，且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 或 D. 线段中点的横坐标为
11.如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点点与点，不重合，下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为
D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某市高三年级万名男生的身高单位：近似服从正态分布，则身高超过的男生约有 人参考数据：，，
13.已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 ．
14.已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别是内角，，的对边，且．
若，求；
若，求的面积的最大值．
16.本小题分
已知数列的满足．
求数列的通项公式．
设数列前项和为，求．
证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为．
证明：平面平面．
求四棱锥的体积．
若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为
求直线的方程及椭圆的方程．
若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值．
在的条件下求四边形的的面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．
求函数的解析式；
证明：；
若圆与曲线相交于两点，证明：为锐角．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为，所以由正弦定理得，
又，所以，，
从而．
由余弦定理可知，则，
又，故，
即，故，即，
从而，
当时取等号，即的面积的最大值为．
16.解：
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以数列的通项公式为；
由题意，
从而
；
，
当时，，
当时，，
当时，
．
17.解：
设的 中点分别为，连接．
在中，由，所以．
由，所以，
因为，所以二面角的平面角为，
则．
因为，平面，所以平面，
由平面，所以，则，
所以．
又，所以．
又因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，即四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积为．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
记，则连接．
设，
则，
．
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
因为平面，所以，
则，解得，
则又，
所以，．
设平面的法向量为，
则由得取，得．
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：
由长轴长为，可得，．
因为点上顶点，直线的倾斜角为，
所以中，，则，
又，则．
因为，，
所以直线的方程为．
椭圆的方程为．
设，，，
则关于原点的对称点，即
由，
三点共线，又，．
设代入椭圆方程得
，，，．
，
，
．
四边形为梯形，
令，则
当即时等号成立．
19.解：
设函数的点为，设关于直线对称点为，在函数的图象上，
因为，化简得
所以
所以，
所以，所以．
证明：令，
，
设，，
单调递增；
单调递增；
，
所以，即得．
不妨设，其中，
如图，作点关于轴的对称点，则点在的图象上，
再作点关于直线的对称点，
由可知，点在的图象上，由圆的对称性可知，都在圆上
设与圆在第四象限的交点为，
轴与圆在右侧的交点为，
则，又，则，
由对称性可得，，
且，
又，故，
又点在的图象上，点在的图象上，
因此，
又，所以为锐角．
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