4.7 相似三角形的性质
【基础达标】
1.两个相似三角形的对应边之比为3∶4,那么它们对应高线的比为 ( )
A.∶4 B.3∶4
C.∶2 D.2∶
2.已知△ABC∽△DEF,相似比为3∶1,且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为 ( )
A.2 B.3 C.6 D.54
3.已知两个相似三角形的相似比为2∶3,则它们的面积比为 ( )
A.2∶3 B.4∶9
C.3∶2 D.∶
4.如图,△ADE∽△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是 ( )
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.3∶2
5.若相似三角形对应角平分线的比为3∶2,则它们对应中线的比为.
6.已知△ABC的三边长分别为,,2,△A'B'C'的两边长分别是1和,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边长应该是.
7.两个相似三角形的面积之比为1∶2,则相似比为.
【能力巩固】
8.如图,△AOB∽△COD,OA∶OC=9∶7,∠A=x°,∠C=y°,△AOB与△COD的面积分别是S1和S2,△AOB与△COD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是 ( )
A.BO=9CD
B.7x=9y
C.7S1=9S2
D.7C1=9C2
9.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的面积为S1,△DEF的面积为S2,则的值为.
10.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,M是DE的中点,CM的延长线交边AB于点N,那么的值为.
11.在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3),D为x轴上一点.若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的D点有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
12.已知△ABC∽△A'B'C',它们的周长之差为20,面积比为4∶1,求△ABC和△A'B'C'的周长.
【素养拓展】
13.如图,矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.
(1)求证:△OCP∽△PDA.
(2)若△OCP与△PDA的周长之比为1∶2,求边AB的长.
参考答案
【基础达标】
1.B 2.C 3.B 4.B
5.3∶2 6. 7.1∶
【能力巩固】
8.D 9. 10. 11.C
12.解:∵△ABC∽△A'B'C',面积比为4∶1,
∴相似比为2∶1,周长比为2∶1.
∵周长比相差1,而周长之差为20,
∴每份周长为20,
∴△ABC的周长是2×20=40,△A'B'C'的周长是1×20=20.
【素养拓展】
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B,
∴∠APO=90°,∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C,∠APD=∠POC,
∴△OCP∽△PDA.
(2)∵△OCP与△PDA的周长之比为1∶2,
∴==,∴DA=2CP.
∵AD=8,∴CP=4,CB=8.
设OP=x,则OB=x,CO=8-x.
在Rt△PCO中,∠C=90°,CP=4,OP=x,
则OB=x,CO=8-x,
∴x2=(8-x)2+42,解得x=5.
∵=,∴AB=AP=2OP=10,
∴边AB的长为10.
