江西省2025届九年级期中综合评估
数学
上册
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内错选、多选或未选均不得分.
1.若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.0 D.3
2.以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ）
A.甲醛 B.甲烷 C.水 D.乙酸
3.已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（ ）
A.7 B.3 C. D.
4.如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ）
A.2，，11 B.2，，5 C.，，11 D.，8，5
6.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.一元二次方程的解为______.
8.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.
9.如图，是半圆的直径，，为的中点，连接，，则的度数为______.
10.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________.（结果化为一般式）
11.在平面直角坐标系中，若抛物线向左平移2个单位长度后经过点，则的最大值为______.
12.如图，在矩形中，连接，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的周长为______
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程：.
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，且于点，求的度数.
14.某件夏天T恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率.
15.自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，.已知，碗深，求的长.
16.如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.
（1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形.
（2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形.
图1 图2
17.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴没有交点.
（1）求的取值范围.
（2）请直接写出抛物线顶点所在的象限.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点.
（1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标.
（2）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.
（3）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.
19.如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，.
（1）求证：点，，在同一条直线上.
（2）若，，求的面积.
20.某主播销售一种商品，已知这种商品的成本价为20元/个，规定销售价格不低于成本价，且不高于成本价的2倍，通过前几天的销售发现，该商品每天的销售量（单位：个）与销售价格（单位：元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表：
/（元/个） … 23 25 28 110
/个 … 540 500 440 …
（1）求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围.
（2）求销售该商品每天的最大利润.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）.
（1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论.
方法应用
（2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点.
①求证：.
②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长.
图1 图2
22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标.
（3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值.
六、解答题（本大题共12分）
23.综合与实践
如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接.
初步感知
（1）如图1，的延长线与交于点，求的度数.
特例应用
（2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上.
①当点与点重合时，的长为______；
②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明.
拓展延伸
（3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长.
图1 图2
江西省2025届九年级期中综合评估
数学参考答案
1.B 2.C 3.A 4.D
5.A 提示：由旋转和翻折可知，，
抛物线的顶点的坐标为.
点关于轴的对称点的坐标为，
最后得到的抛物线的解析式为，
.故选A.
6.B 提示：建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意易知点的坐标为，点的坐标为，
则点的坐标为，
故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入上式，得，
抛物线的解析式为.
点的横坐标为2，
点的纵坐标为，
点到的距离为.故选B.
7. 8. 9. 10. 11.9
12.3或或 提示：，，，
，，.
如图1，当时，此时.易证得为等边三角形，
的周长为；
如图2，当时，此时，，.
易证得，
，的周长为；
如图3，当时，此时，
，，
.
的周长为.
综上所述，的周长为3或或.
图1 图2 图3
13.（1）（解法不唯一）解：，
，，.
（2）解：将绕点逆时针旋转得到.
，.
又，，
.
14.解：设平均每次降价的百分率为.
由题意得，
解得，（舍去）.
答：平均每次降价的百分率为.
15.解：是的中点，，
.
设，则.
在中，由勾股定理得，
即，解得，
的长为.
16.解：（1）如图1，即所求.
（2）如图2，即所求.
图1 图2
17.解：（1）抛物线与轴没有交点，
，即，解得.
（2）第二象限.
提示：，
该抛物线的顶点坐标为.
，
，
点在第二象限.
18.解：（1）把代入，得
，解得.
，
抛物线的顶点坐标为.
（2）当时，的取值范围是.
（3）当时，的取值范围是或.
19.解：（1）证明：是由绕点顺时针旋转得到的，
，，
，
.
又，
，
点，，在同一条直线上.
（2）由（1）可知，，
.
，
.
，
.
20.解：（1）设关于的函数关系式为.
将，代入上式.得解得
.
（2）设销售该商品每天的利润为元.
由题意得.
，，当时，取得最大值，且最大值为4500.
答：销售该商品每天的最大利润为4500元.
21.解：（1）.
证明：，，
，即.
（2）①证明：是的中点，.
，，
，
，.
②如图，过点作，是垂足，连接.
在中，，，
，
.
22.解：（1）∵抛物线与轴相交于点和点，
，解得，
该抛物线的解析式为.
（2）或.
（3），令，即，
解得，，点的坐标为.
点与点关于轴对称，点的坐标为.
设点的坐标为.
设直线的解析式为.
由点，的坐标可知，
解得
直线的解析式为.
如图，过点作轴，交于点.
当时，，
点的坐标为，，
则，
当时，的值最大，且最大值为，
故的最大值为.
23.解：（1），
，即.
又，，（SAS），
.
，
.
（2）①.
②四边形为平行四边形.
证明：如图1，连接.
图1
在等边中，平分，.
又，关于对称，
，，
，.
在等边中，，，
.
在等边中，，，
，，
，，.
平分，
，
，
，为等边三角形，
，.
，，
四边形为平行四边形.
（3）.
提示：将图1中与的交点记为.
由（2）易知.
，，，
即，
易求得，
，.
如图2，当点从点运动到点时.
图2
，点的运动路径为图2中的长，为的中点，连接，.
，同理可得，
是等边三角形.
是的中点，，易求得.
