大兴区2024～2025学年度第一学期期中检测
初三数学
2024.11
考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。 2.在答题卡上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域。 3.题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.练习结束，请将答题纸交回。
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.等边三角形
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
4.已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A. B. C. D.
5.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且
6.抛物线的部分图象如图所示，抛物线与x轴一个交点横坐标为1，若，则x的取值范围是（ ）
A. B.或 C.或 D.
7.如图，在中，，将△ABC绕点C逆时针方向旋转58°得到.若点恰好落在AB边上，则度数为（ ）
A.29° B.32° C.58° D.61°
8.如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为.其中，正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（共16分，每题2分）
9.在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点坐标为 .
10.一元二次方程的根是 .
11.抛物线的对称轴是 .
12.已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则 （填“＞”或“＜”）.
13.已知抛物线与x轴没有交点，则实数c的取值范围是 .
14.请写出一个对称轴为直线，且经过点的抛物线解析式 .
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为 .
16.某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律.比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 .
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程.
17.计算：.
18.解方程：.
19.解方程：.
20.已知二次函数（）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
画出该二次函数的图象，并求出解析式.
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接AB，BO，得到△OAB.
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的；
（2）直接写出经过点，，A的二次函数图象的对称轴
22.在△ACB中，，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F.连接AF，求∠CAF的度数.
23.在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数（）的图象交于点.
（1）求m与k的值；
（2）当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围.
24.今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎.某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件.经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件.
（1）每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元
（2）每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元
25.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离y（单位：m），车速为制动时车速x（单位：m/s），时间为制动时间t（单位：s）.为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表：
表1
制动时车速x（m/s） 0 2 4 6 8 10 ……
制动时间t（s） 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 ……
表2
制动时车速x（m/s） 0 2 4 6 8 10 ……
制动距离y（m） 0 0.25 1 2.25 4 6.25 ……
为观察y与x之间的关系，建立平面直角坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示y与x的关系.
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
（1）根据表1，当制动时车速x为20m/s时，制动时间 s；
（2）直接写出制动距离y（单位：m）与制动时车速x（单位：m/s）之间的函数关系式；
（3）有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为42.25m，则此车制动时车速是 m/s，已知该公路限速为80km/h，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）.
26.在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，抛物线经过点.
（1）当时，若，则a的值为 ；
（2）若对于任意的都满足，求a的取值范围.
27.已知，△ABC是等腰三角形，，O是△ABC内的任意一点，连接0A，OB，OC.
（1）如图1，，，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC.点D恰好落在BO所在的直线上，用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
图1
（2）如图2，设，.当 °， °时，有最小值.
图2
28.如图，点B，C在直线l上，点A为直线l外一点，，对于点D给出如下定义：将线段CA绕点C逆时针旋转（）得到线段CD，当点D在直线l上（不与B重合）时，称点D为线段AB的关联点.
（1）如图，，点D （填“是”或“不是”）线段AB的关联点；
（2）已知点D为线段AB的关联点，，，请写出y与x的关系式及x的取值范围（直接写出结果）.
2024～2025学年度第一学期期中练习
初三数学参考答案及评分标准
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C D A B
二、填空题（共16分，每题2分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 ， ＜ 答案不唯一，.
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程.
17．解：
18．解：
移项，得.
配方，得.
∴.
即.
∴.
解得：，.
19．解：.
可化为.
由，，.
∴.
∴.
∴，.
20．画函数图象正确.
解：设二次函数解析式为，
把点代入到上式，
可得，.
解得，.
所以，二次函数的解析式为.
21．
（1）画图正确.
（2）答：直线
22．解：
∵将线段AB，AC绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AD，AE，
∴，
∴，
∵，，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
23．解：
（1）∵点是函数与函数（）图象的交点，
∴.
∴.
∴.
把代入中，
∴，
∴.
（2）.
24．
（1）解：设当每件纪念品涨价x元时，每日的利润为280元，
.
.
.
解得：，.
答：当涨价6元或10元时，每日利润为280元.
（2）解：设当涨价a元时，每日利润为W元，
.
.
∵，抛物线开口向下，
所以，当时，.
答：当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元.
25．
（1）2.5.
（2）.
（3）26.
超速行驶.
26．解：
（1）；
（2）∵对于任意的都满足，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如示意图，当时，可知，
∴，
解得.
情况2，如示意图，当时，可知，
∴，
∴，解得.
综上所述，或.
27．解：
（1）线段OA，OB，OC之间的数量关系是.
如图1，
图1
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠ACB＝60°，
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°.
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB.
∴△OCD是等边三角形.
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°.
∵∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝150°
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°.
∴∠DAO＝90°.
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴.
∴.
（2）120；120.
28．
（1）是.
（2）解：当点D落在线段BC上时，
（）.
当点D落在CB的延长线上时，
（）.
