二次函数与区间最值重难点突破（含解析） 2024-2025人教版九年级数学上册

二次函数与区间最值重难点突破
突破11 二次函数与区间最值(一) 定轴定区间
类型一 显性区间最值
1.(2024德阳中考改)已知二次函数 当02.(2024一初慧泉)已知抛物线 上有一点 P(a,b),当-2≤a<3时,则 P 点纵坐标b 的取值范围为( )
A.3≤b<4 B.-1≤b≤4 C.3≤b<19 D.4类型二 隐对称轴最值
3.(2024咸阳)已知二次函数 (其中x 是自变量且a≠0),当x≥1时,y随x的增大而增大，且-3≤x≤2时，y 的最大值为-8，则a的值为( )
A.-1 B.-6 C.6 D.-1或6
4.(2024渭南)已知二次函数 (a为常数)在-2≤x≤1时,y 的最大值为10,则 a 的值是( )
A.-6 C.-6或 D.2或
类型三 隐区间最值
5.(2024湖北联考)若m,n 是非负数,且 的最大值为a，最小值为b，则a-b的值是( )
A.-10 B.10 C.-14 D.-12
突破12 二次函数与区间最值(二) 定轴动区间
类型一 区间一边含参
1.(2024泸州中考改)已知二次函数 当 时，y的取值范围是 2t-1,求 t 的值.
类型二 区间双边含参
2.(2024邢台)点 在函数 的图象上，当 时，函数的最大值为4，最小值为 则a 的取值范围是( )
3.(2022仙桃改)已知二次函数
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)当二次函数 的自变量x 满足 时，此函数的最大值为p，最小值为q，且 求m 的值.
突破13 二次函数与区间最值(三) 动轴定区间
1.已知 是关于x 的二次函数，x的取值范围是
(1)若y在x=1时取得最大值，则a 的取值范围是 ；
(2)若y在x=1时取得最小值，则a的取值范围是 .
2.(2024西安二模)已知二次函数 (n为常数)，当1≤x≤4时，其对应的函数值最大为 则n的值为( )
A.4 B.-2或7 C.1或7 D.-2 或4
3.已知关于x 的二次函数 当1≤x≤3时,函数有最小值2a,则a 的值为 .
4.(2024济南二模)已知二次函数 的图象经过点A(a,c),B(b,c),且满足0< 当--1≤x≤1时，该函数的最大值m 和最小值n之间满足的关系式是( )
A. n=-3m-4 B. m=-3n-4
5.(2023二中广雅)二次函数 当自变量x在 的范围内有最小值n，则n 的最大值为 .
突破11 二次函数与区间最值(一)定轴定区间
解：∵抛物线的开口向上，对称轴为x= ,且0∵当x=0时,y=-2;当x=2时,y=0,
∴y的最大值为0.
∴y 的取值范围为
2. C 解:
∴当x=-1时,y取得最小值3.
又当x=-2时,y=4;当x=3时,y=19,
∴函数的最大值为 19.故选 C.
3. C 解:∵当x≥1时,y随x的增大而增大,对称轴为
∵--3≤x≤2时,y的最大值为-8,
∴x=2时,
∴a=-1(舍)或a=6.故选 C.
4. D 解:∵抛物线的对称轴为x=-1,且-2≤x≤1,∴当a>0时,在x=1时,
y 取得最大值.
解得a=2或a=-6(舍去);
当a<0时,在x=-1时,
y 取得最大值
解得 或. (舍去).
综上,a=2或 故选 D.
5. B 解:∵2m+n=2,∴n=2-2m≥0,又m≥0,∴0≤m≤1,
∴当m=0时,
取最小值
当m=1时, 取最大值.
∴a-b=2-(-8)=10.故选 B.
突破 12 二次函数与区间最值(二)定轴动区间
1.解:当x=-1时,y=0取得最小值.若--1≤t<1,则y 随x的增大而增大,此时当x=t时， 取得最大值， ,解得 t=±2(舍);若t≥1,则y在x=1时取得最大值4,此时2t-1=4,解得 的值为- .
2. D 解:由 得抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为(1，4).依题意可得a≤1≤a+2,且1-a≥(a+2)-1,解得-1≤a≤0.故选 D.
3.解:(1) ∴抛物线的对称轴为直线x=1；
(2)∵抛物线 的对称轴为直线x=1，
①如图1,当m>1时,当x=m时,
当x=m+2时,
解得 (舍);
②如图2,当m≤1≤m+1时,即0≤m≤1,
当x=1时,q=-4,当x=m+2时,
解得 或 (舍);
③如图3,当m+1<1≤m+2时,即-1≤m<0,
当x=1时,q=-4,当x=m时,
解得 (舍)或
④如图4,当m+2<1时,即m<-1,
当x=m时,
当x=m+2时,
解得 (舍);
综上所述，m的值 或
突破 13 二次函数与区间最值(三)动轴定区间
1.解:抛物线y=-x(x+3-a)+1的开口向下,对称轴为
(1)∵y在x=1时取得最大值, 解得a≤5;
(2)∵y在x=1时取得最小值,
两边平方后解得a≥9.
2. B 解:当n≥4时,当x=4,y=-10 =-(4-n) -1,解得n=7 或1(舍去);
当n≤1时,当. 解得n=-2或4(舍去).∴n的值为7或-2.
3.1 解：可知抛物线的开口向上，对称轴为x=a，当a≤1时，y随x的增大而增大，当x=1时函数取得最小值，1-2a+3=2a,解得a=1;
当1,解得a=1或a=-3(均舍去);
当a≥3时，y随x 的增大而减小，
当x=3时函数取得最小值,9-6a+3=2a,解得 (舍);综上,a的值为1.
4. D 解：依题意知，图象开口向下，对称轴为
∵0∴当-1≤x≤1时,m是x=c时所对应的函数值,
n是x=-1时所对应的函数值，
故选 D.
5. 解：抛物线 的对称轴为x=h，开口向上，
当h≤-1时,y 随x 的增大而增大,
此时n=1+3h≤-2,n 的最大值为-2;
当--1当h≥1时,y随x的增大而减小,此时n=-h+1≤0,n的最大值为0.综上，可得n的最大值为