北京市北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期数学统练1
1．（2024高三上·北京市月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：，
.
故选：B．
【分析】由已知条件和元素与集合的关系和绝对值不等式求解方法，从而得出集合A，再结合补集的运算法则得出集合A在U中的补集.
2．（2024高三上·北京市月考）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题设有，故，故，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数的加法运算法则得出。
3．（2024高三上·北京市月考）如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B错误；
因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；
因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质判断出选项A和选项B；再根据指数函数的单调性判断出选项C；根据对数函数的单调性判断出选项D，进而找出不等式一定成立的选项.
4．（2024高三上·北京市月考）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，
其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，
故概率为 .
故选：C.
【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
5．（2024高三上·北京市月考）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题知，当大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
即当小于等于200时，适宜开展户外活动，
即，
因为，
所以当时，
只需，
解得：，
当时，
只需，
解得：，
综上： 适宜开展户外活动的时间段为，
共计7个小时.
故答案为：C
【分析】根据函数式列出不等式，求解可得答案.
6．（2024高三上·北京市月考）已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“d>0”是
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，
可知当时，有，即，
反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件.
故选：C．
【分析】利用已知条件和等差数列前n项和公式和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
7．（2024高三上·北京市月考）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，
设选出的同学爱好滑冰为事件，选出的同学爱好滑雪为事件，
由于中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，
则，而同时爱好两个项目的占，即，
则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为．
故选：A．
【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件，某人爱好滑雪为事件，再由古典概型公式求出和的值，从而由条件概率公式计算可得该同学也爱好滑冰的概率．
8．（2024高三上·北京市月考）有个砝码，总质量为，它们的质量从大到小依次构成等差数列，且最重的个砝码质量之和是最轻的个砝码质量之和的倍．用这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，
公差为，，，，
由题意可得，
，
即，
，
解得，，
则，
令，
又因为，，
解得，，
故需要的砝码个数至少为．
故选：C.
【分析】设个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，公差为，，，，由题意得到基本量的方程，再结合等差数列的通项公式得出首项和公差的值，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列的前项和公式关于n的二次函数，再由一元二次不等式求解方法得出n的取值范围，从而得出需要的砝码至少的个数.
9．（2024高三上·北京市月考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是。
故答案为：A
【分析】依题意，则，由得出交点坐标，画出的图象，由图可知不等式的解集。
10．（2024高三上·北京市月考）设，数列中，， ，则
A．当 B．当
C．当 D．当
【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：若数列为常数列，则，
由，可设方程.
对于A：时，，，
，故此时不为常数列，
，且，
，则，故A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，即当时，数列为常数列，，
则，故B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，
同样不满足，则C错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，则D错误.
故选：A.
【分析】利用已知条件结合b的值代入法和递推公式以及常数列的定义，从而解方程得出方程的根，进而得出数列的通项公式，则得出第十项的值，最后找出正确的选项.
11．（2024高三上·北京市月考）函数的定义域是 ．
【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
12．（2024高三上·北京市月考）在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则 ；当 时，数列的前n项和有最大值．
【答案】-2；5
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】成等比数列，故，即，
解得或（舍）.
，，，，
故时，有最大值。
故答案为：-2；5。
【分析】利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，进而得出满足要求的公差的值；再利用等差数列的通项公式和二次函数的图象求最值的方法，进而得出对应的n的值。
13．（2024高三上·北京市月考）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【知识点】用频率估计概率
【解析】【解答】解：不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，
故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，
故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故填：②③.
【分析】利用已知条件和局部频率和整体频率的关系，从而找出正确结论的序号.
14．（2024高三上·北京市月考）设函数，当时，的单调递增区间为 ，若且，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】；
【知识点】函数的单调性及单调区间；图形的对称性
【解析】【解答】解：当时，，其图象如下图：
由图知，函数的单调递增区间为，
因为，其图象关于对称，显然，当时，
由二次函数对称知且，使得成立，符合题意；
则时，当时，关于对称的曲线为，
联立，得或（舍去），
所以，当时，满足，即，符合题意；
当时，曲线，与曲线无公共点，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
故填：；.
【分析】当时，作出分段函数的图象，利用函数的图象求出函数的递增区间；由得出函数关于对称，再结合二次函数的对称性和联立直线和二次函数的图象求交点的方法，从而得出满足要求的实数a的取值范围.
15．（2024高三上·北京市月考）对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则”且，给出下列命题：
①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合，，必有；
③存在符合题设条件的集合，，使得；
④存在符合题设条件的集合，，使得．
其中所有正确命题的序号是 ．
【答案】②③④
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由于非空实数集，记，
则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的数组成的集合．
①当集合下边界趋向负无穷大时，如，故错误；
②由于，假设中最小值为，最小值为，那么
因此表示不大于所有数组成的集合，表示所有不大于的数组成的集合，
则，故正确；
③令，则，故，故正确；
④令，则，故，故正确.
故答案为：②③④.
【分析】根据新定义运算，再结合补集、子集、交集和空集等知识对各命题进行分析判断，从而找出正确命题的序号.
16．（2024高三上·北京市月考）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
【答案】（1）解：，.
（2）解：由频率分布直方图可得：
周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（3）解：用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，
周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，
当时，取得最大值.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各小组矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为，从而解方程得出的值.
（2）根据分层抽样的方法得出在人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定随机变量所有可能的取值，再根据超几何分布概率公式，可求得随机变量每个取值对应的概率，由此可得随机变量的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式得出数学期望的值.
（3）根据频率分布直方图各小组矩形的面积等于各小组的频率，可求得周平均阅读时间在内的概率，再利用二项分布求概率公式可表示出，若最大，则最大，从而得出当最大时的的值．
（1），.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值.
17．（2024高三上·北京市月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）证明函数只有一个零点．
【答案】（1）解：的定义域为，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为：，
化简得：
（2）解：令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为
所以函数在区间上的最小值为.
（3）证明：，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1 )利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出曲线在切点处的切线方程。
（2） 令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而结合零点存在性定理，进而判断出函数的单调性，从而得出函数在区间上的最小值。
（3）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，进而证出函数在有且仅有一个零点。
北京市北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期数学统练1
1．（2024高三上·北京市月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·北京市月考）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024高三上·北京市月考）如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·北京市月考）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·北京市月考）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
6．（2024高三上·北京市月考）已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“d>0”是
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高三上·北京市月考）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
8．（2024高三上·北京市月考）有个砝码，总质量为，它们的质量从大到小依次构成等差数列，且最重的个砝码质量之和是最轻的个砝码质量之和的倍．用这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·北京市月考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三上·北京市月考）设，数列中，， ，则
A．当 B．当
C．当 D．当
11．（2024高三上·北京市月考）函数的定义域是 ．
12．（2024高三上·北京市月考）在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则 ；当 时，数列的前n项和有最大值．
13．（2024高三上·北京市月考）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是 .
14．（2024高三上·北京市月考）设函数，当时，的单调递增区间为 ，若且，使得成立，则实数的取值范围为 .
15．（2024高三上·北京市月考）对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则”且，给出下列命题：
①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合，，必有；
③存在符合题设条件的集合，，使得；
④存在符合题设条件的集合，，使得．
其中所有正确命题的序号是 ．
16．（2024高三上·北京市月考）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
17．（2024高三上·北京市月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）证明函数只有一个零点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：，
.
故选：B．
【分析】由已知条件和元素与集合的关系和绝对值不等式求解方法，从而得出集合A，再结合补集的运算法则得出集合A在U中的补集.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题设有，故，故，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数的加法运算法则得出。
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B错误；
因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；
因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质判断出选项A和选项B；再根据指数函数的单调性判断出选项C；根据对数函数的单调性判断出选项D，进而找出不等式一定成立的选项.
4．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，
其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，
故概率为 .
故选：C.
【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
5．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题知，当大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
即当小于等于200时，适宜开展户外活动，
即，
因为，
所以当时，
只需，
解得：，
当时，
只需，
解得：，
综上： 适宜开展户外活动的时间段为，
共计7个小时.
故答案为：C
【分析】根据函数式列出不等式，求解可得答案.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，
可知当时，有，即，
反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件.
故选：C．
【分析】利用已知条件和等差数列前n项和公式和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
7．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，
设选出的同学爱好滑冰为事件，选出的同学爱好滑雪为事件，
由于中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，
则，而同时爱好两个项目的占，即，
则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为．
故选：A．
【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件，某人爱好滑雪为事件，再由古典概型公式求出和的值，从而由条件概率公式计算可得该同学也爱好滑冰的概率．
8．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，
公差为，，，，
由题意可得，
，
即，
，
解得，，
则，
令，
又因为，，
解得，，
故需要的砝码个数至少为．
故选：C.
【分析】设个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，公差为，，，，由题意得到基本量的方程，再结合等差数列的通项公式得出首项和公差的值，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列的前项和公式关于n的二次函数，再由一元二次不等式求解方法得出n的取值范围，从而得出需要的砝码至少的个数.
9．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是。
故答案为：A
【分析】依题意，则，由得出交点坐标，画出的图象，由图可知不等式的解集。
10．【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：若数列为常数列，则，
由，可设方程.
对于A：时，，，
，故此时不为常数列，
，且，
，则，故A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，即当时，数列为常数列，，
则，故B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，
同样不满足，则C错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，则D错误.
故选：A.
【分析】利用已知条件结合b的值代入法和递推公式以及常数列的定义，从而解方程得出方程的根，进而得出数列的通项公式，则得出第十项的值，最后找出正确的选项.
11．【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
12．【答案】-2；5
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】成等比数列，故，即，
解得或（舍）.
，，，，
故时，有最大值。
故答案为：-2；5。
【分析】利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，进而得出满足要求的公差的值；再利用等差数列的通项公式和二次函数的图象求最值的方法，进而得出对应的n的值。
13．【答案】②③
【知识点】用频率估计概率
【解析】【解答】解：不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，
故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，
故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故填：②③.
【分析】利用已知条件和局部频率和整体频率的关系，从而找出正确结论的序号.
14．【答案】；
【知识点】函数的单调性及单调区间；图形的对称性
【解析】【解答】解：当时，，其图象如下图：
由图知，函数的单调递增区间为，
因为，其图象关于对称，显然，当时，
由二次函数对称知且，使得成立，符合题意；
则时，当时，关于对称的曲线为，
联立，得或（舍去），
所以，当时，满足，即，符合题意；
当时，曲线，与曲线无公共点，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
故填：；.
【分析】当时，作出分段函数的图象，利用函数的图象求出函数的递增区间；由得出函数关于对称，再结合二次函数的对称性和联立直线和二次函数的图象求交点的方法，从而得出满足要求的实数a的取值范围.
15．【答案】②③④
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由于非空实数集，记，
则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的数组成的集合．
①当集合下边界趋向负无穷大时，如，故错误；
②由于，假设中最小值为，最小值为，那么
因此表示不大于所有数组成的集合，表示所有不大于的数组成的集合，
则，故正确；
③令，则，故，故正确；
④令，则，故，故正确.
故答案为：②③④.
【分析】根据新定义运算，再结合补集、子集、交集和空集等知识对各命题进行分析判断，从而找出正确命题的序号.
16．【答案】（1）解：，.
（2）解：由频率分布直方图可得：
周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（3）解：用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，
周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，
当时，取得最大值.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各小组矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为，从而解方程得出的值.
（2）根据分层抽样的方法得出在人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定随机变量所有可能的取值，再根据超几何分布概率公式，可求得随机变量每个取值对应的概率，由此可得随机变量的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式得出数学期望的值.
（3）根据频率分布直方图各小组矩形的面积等于各小组的频率，可求得周平均阅读时间在内的概率，再利用二项分布求概率公式可表示出，若最大，则最大，从而得出当最大时的的值．
（1），.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值.
17．【答案】（1）解：的定义域为，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为：，
化简得：
（2）解：令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为
所以函数在区间上的最小值为.
（3）证明：，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1 )利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出曲线在切点处的切线方程。
（2） 令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而结合零点存在性定理，进而判断出函数的单调性，从而得出函数在区间上的最小值。
（3）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，进而证出函数在有且仅有一个零点。
