期中综合素质评价
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.抛物线y＝(x－5)2＋1的顶点坐标是( )
A．(5，－1) B．(－5，1) C．(5，1) D．(－5，－1)
2．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )
A.＝ B．∠ADC＝∠ACB
C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD·AB
3．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－x2－2x＋2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
4．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60 cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90 cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是( )
A．36 cm B．40 cm C．42 cm D．45 cm
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为( )
A. B．1 C. D．2
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像的顶点坐标为(－1，n)，其部分图像如图所示，以下结论错误的是( )
A．abc＞0 B．4a－2b＋c＞0
C．2a－b＝0 D．4ac－b2＞0
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且＝，则AE的长为( )
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
8．二次函数y＝－x2＋mx的图像如图所示，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是( )
A．t＞－5 B．－5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．－5＜t≤4
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．已知＝，则的值为________．
10．在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米．附近有一栋大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是________米．
11．二次函数y＝a(x－1)2＋h的图像经过点A(0，4)，B(m，4)，则m＝________.
12．将函数y＝－(x＋3)2－2的图像先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得图像的函数表达式为__________．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝________.
14．如图，二次函数y＝ax2＋h(a≠0)与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像交于A(－2，n)，B(3，m)两点，则不等式ax2－kx＜b－h的解集是________．
15．在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(4，2)，以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．
16．若二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m－2的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于4，则m的值为________．
17.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE(k＞1)，则用含k的式子表示的值是________．
18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝6，BD＝4，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，若△AEP与△ABD相似，则AP的长为________．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B.
(1)求证：△AED∽△ADC；
(2)若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
20．(8分)如图，二次函数y＝－x2＋6x－5a的图像交x轴正半轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C，连接AC，BC，已知OC＝5.
(1)求二次函数的表达式；
(2)求△ABC的面积．
21．(8分)为加强劳动教育，各校纷纷组建劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．
(1)求平均单株产量y(千克)与每平方米种植的株数x(x为整数，且2≤x＜10)之间的函数关系式．
(2)已知学校劳动实践基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动实践基地能获得最大产量？最大产量为多少千克？
22．(8分)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．(保留作图痕迹)
(1)如图①，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点；
(2)如图②，在OA边上找一点F，使得＝.
23．(10分)如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF，AE.
(1)求证：∠BAF＝∠CDB；
(2)若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
24．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝12，M为AC边上一点，AM＝4，D为AB边上一点(不与A，B重合)，作∠MDN＝45°，使DN交△ABC的边于点N.
(1)如图，当点N在BC边上时，
①求证：△AMD∽△BDN；
②若＝，求BN的长；
(2)若＝，求CN的长．
25．(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a经过点A(t，y1)，B(4－t，y2)，且t≠2.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点(－2，－5)，设点A与点B横坐标的差为d，点A与点B纵坐标的差为h，求的值；
(3)在(2)的条件下，连接AB，若线段AB交抛物线的对称轴于点E(点E不与A，B重合)，在直线x＝1的同侧作矩形BCDE，且DE＝AE.当抛物线在矩形BCDE内部的部分始终在x轴下方时，求t的取值范围．
答案
一、1.C 2.A 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.D
二、9. 10.24 11.2 12.y＝－(x＋5)2－1
13．2－2 14.－2＜x＜3 15.(2，1)或(－2，－1)
16．－1 17. 18.或
三、19.(1)证明：∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠B.
∵∠DEC＝∠B，∴∠DEC＝∠ADB.
又∵∠DEC＋∠AED＝180°，∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠AED＝∠ADC.
又∵∠EAD＝∠DAC，∴△AED∽△ADC.
(2)解：由(1)可知，△AED∽△ADC，∴＝.
∵AE＝1，CE＝3，∴AC＝4.
将AE，AC的值代入上式，得AD2＝AE·AC＝4，
故AD＝2.
又∵AB＝AD，∴AB＝2.
20．解：(1)令x＝0，则y＝－5a.
又∵OC＝5，∴－5a＝－5.∴a＝1.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋6x－5.
(2)由(1)得抛物线为y＝－x2＋6x－5，
∴令y＝0，则0＝－x2＋6x－5.∴x＝1或x＝5.
∴AB＝5－1＝4.
又∵OC＝5，∴S△ABC＝AB·OC＝×4×5＝10.
21．解：(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克，
∴y＝8.4－0.8(x－2)＝－0.8x＋10，
∴y关于x的函数关系式为y＝－0.8x＋10(2≤x＜10，且x为整数)．
(2)设每平方米番茄产量为W千克，
根据题意得W＝x(－0.8x＋10)＝－0.8x2＋10x＝－0.8＋.
∵－0.8＜0，且x为整数，
∴当x＝6时，W取最大值，最大值为.
∴10×＝312(千克)．
答：当每平方米种植6株时，该学校劳动实践基地能获得最大的产量，最大产量为312千克．
22．解：(1)如图①，△ODE即为所求．
(2)如图②，点F即为所求．
23．(1)证明：∵直线l与⊙O相切于点A，
∴∠BAD＝90°.∴∠BDA＋∠ABD＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°.
∴∠BAF＋∠ABD＝90°.∴∠BAF＝∠CDB.
(2)解：∵r＝6，
∴AB＝2r＝12＝AC.
∴BD＝＝＝15.
∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠BEA＝90°.
∴△ABE也是等腰直角三角形．
∴易得BE＝6.
∵＝，∴∠BEF＝∠BAF.
∵∠BAF＝∠CDB，∴∠BEF＝∠BDC.
∴△BEF∽△BDC.
∴＝，即＝.
∴EF＝.
24．(1)①证明：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°.
∴∠AMD＝180°－∠A－∠ADM＝135°－∠ADM.
∵∠MDN＝45°，
∴∠BDN＝180°－∠MDN－∠ADM＝135°－∠ADM.
∴∠AMD＝∠BDN.∴△AMD∽△BDN.
②解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝12，
∴AB＝＝＝12.
∵＝，
∴AD＝AB＝×12＝10.
∴BD＝12－10＝2.
∵△AMD∽△BDN，∴＝.又∵AM＝4，
∴BN＝＝＝10.∴BN的长为10.
(2)解：如图①，当点N在线段CM上时，作DF∥AC交BC于点F.
∵＝，
∴AD＝AB＝×12＝3.
∴BD＝12－3＝9.
设DN与射线BC交于点E.
∵∠A＝∠B，∠AMD＝∠BDE＝135°－∠ADM，
∴△AMD∽△BDE.∴＝.
∴BE＝＝＝＞BC.
∴点E在BC的延长线上．
此时，DE与AC交于点N，EC＝BE－BC＝－12＝.
∵DF∥AC，∴＝＝.
∴BF＝BC＝×12＝9.
∴EF＝BE－BF＝－9＝.
∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠A＝∠B，∴FD＝BF＝9.
∵CN∥DF，∴△ECN∽△EFD.∴＝.
∴CN＝＝＝3；
如图②，当点N在线段AM上时，作ML∥BC交AB于点L.
∴＝＝＝.
∴AL＝AB＝×12＝4.
∴LD＝AL－AD＝4－3＝.
∵∠DLM＝∠B＝∠A＝45°，∠MDN＝45°，
∴∠LDM＝∠AND＝135°－∠ADN，LM＝AM＝4.
∴△LDM∽△AND.∴＝.
∴AN＝＝＝.
∴CN＝12－＝.
综上所述，CN的长是3或.
25．解：(1)∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)∵抛物线经过点(－2，－5)，
∴a×(－2)2－2a×(－2)－3a＝－5，
解得a＝－1.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
∵点A(t，y1)，B(4－t，y2)，
∴点A与点B横坐标的差为d＝t－(4－t)＝2t－4，
点A与点B纵坐标的差为h＝(－t2＋2t＋3)－[－(4－t)2＋2(4－t)＋3]＝－4t＋8.
∴＝＝－2.
(3)∵点E不与A，B重合，
∴t≠1，t≠3，且t≠2，分以下三种情况讨论：
①当1＜t＜2或2＜t＜3时，则2＜4－t＜3或1＜4－t＜2，
∴点A，B在对称轴右侧，线段AB与抛物线的对称轴不相交，不满足题意；
②当t＜1时，则4－t＞3，此时点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，对于y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，记抛物线与x轴右侧交点为M，如图①，
则－x2＋2x＋3＝0，
解得x＝－1或x＝3，
则抛物线与x轴交于(－1，0)和M(3，0)，
当DE经过点M时，此时正好符合题意．
∵A(t，－t2＋2t＋3)，B(4－t，－t2＋6t－5)，
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
则解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－2x－t2＋4t＋3.
∴E(1，－t2＋4t＋1)．
过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G.
∵∠ABG＋∠1＝∠HEM＋∠1＝90°，
∴∠ABG＝∠HEM.又∵∠AGB＝∠MHE＝90°，∴△AGB∽△MHE.
∴＝，即＝.
由(2)易得＝2.∴＝2.∵MH＝3－1＝2，∴HE＝1.
∴－t2＋4t＋1＝－1，
解得t＝－＋2或t＝＋2(舍去)．
∴满足当抛物线在矩形BCDE内部的部分始终在x轴下方时，t≤2－；
③当t＞3时，则4－t＜1，此时点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，
如图②，当点B经过抛物线与x轴左侧交点时，正好满足题意，
将(－1，0)的坐标代入直线AB的函数表达式y＝－2x－t2＋4t＋3，
得0＝2－t2＋4t＋3，解得t＝－1或t＝5.
∴xA＝t＝5.
∴满足当抛物线在矩形BCDE内部的部分始终在x轴下方时，t≥5.
综上，t≤2－或t≥5.
