苏州市2024-2025学年第一学期初三数学期中模拟卷（5）
（范围：九年级第1、3、4、5、8章 时间：120分钟 满分：130分）
一．选择题（共8小题）
1．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0
2．关于抛物线y＝﹣（x+2）2+3，下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2
C．顶点坐标（﹣2，3） D．与y轴交点坐标（0，3）
3．若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（ ）
A．5，7 B．5，5 C．7，5 D．7，7
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
5．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y＝﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
7．已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
第5题第8题
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
9．若x＝1是方程mx2+2x﹣3＝0的根，则m的值为 ．
10．一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后，摸到红桃的机会 摸到J，Q，K的机会（填“＜，＞或＝”）
11．若关于x的方程（m﹣2）x|m|+8x+2m＝0是一元二次方程，则m的值是 ．
12．一组数据2、3、5、6、x的平均数是4，若再添加一个数x，则方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
13．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面3.6米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米．
14．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝﹣5，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为 ．
第13题第15题
16．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a＞0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 ．
三．解答题（共11小题）
17．解方程：
（1）3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0； （2）（x﹣1）（x+3）＝12；
（3）2x2+8x﹣7＝0（用配方法）； （4）．
18．一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共30个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍．
（1）求摸出1个球是蓝色球的概率；
（2）再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为？
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
20．如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，若点A的坐标为（1，0），直线y2＝kx+b经过点A，D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求点D的坐标和直线AD的函数解析式；
（3）根据图象指出，当x取何值时，y2＞y1．
21．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如表：
（1）计算这10户的平均月用水量；
（2）如果该小区有500户，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月用水多少吨？
月用水量/吨 10 13 14 17 18
户数 2 2 3 2 1
22．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．
23．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．现在任意转动这个转盘2次，当第1次转动转盘停止时，指针所落区域的数字记作二次函数y＝ax2+bx+3中的a；当第2次转动转盘停止时，指针所落区域的数字记作二次函数y＝ax2+bx+3中的b．
（1）用“树状图”或“表格”列出所有等可能的结果；
（2）求这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率；
（3）若这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧，且开口向下，求这个二次函数的最大值．
24．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B、C相距20cm，头顶A离地174cm，相距60cm的双手D、E离地均为80cm．点A、B、C、D、E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B、C两点，且甩绳形状始终保持不变．
（1）求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．
（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
25．定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1 x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：（x﹣）（x﹣1）＝0是差积方程．
（1）判断方程6x2﹣5x+1＝0是否为“差积方程”？并验证；
（2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，直接写出m的值；
（3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
26．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
27．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C（0，5）．
（1）直接写出A点坐标（ ， ），B点坐标（ ， ）；
（2）求抛物线顶点M的坐标；
（3）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（4）如图2，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，（x﹣5）[3（x﹣5）+2]＝0，
（x﹣5）（3x﹣13）＝0，x﹣5＝0或3x﹣13＝0，x1＝5，x2＝；
（2）（x﹣1）（x+3）＝12，整理得：x2+2x﹣15＝0，（x+5）（x﹣3）＝0，
x+5＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣5，x2＝3；
（3）2x2+8x﹣7＝0，x2+4x﹣＝0，x2+4x＝，x2+4x+4＝+4，（x+2）2＝，
x+2＝±，x+2＝或x+2＝﹣，x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；
（4），（x﹣1）2＝0，x1＝x2＝．
18．【考点】概率公式．CGF版权所有
【解答】解：（1）蓝色球有（30﹣6）÷3＝8（个），所以P（摸出一个球是蓝色球）＝＝；
（2）设再往箱子里放入x个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为，
则2（x+8）＝x+30，解得，x＝14．
答：再往箱子里放入14个蓝色球，可以使摸出的1个蓝色球的概率为．
19．【考点】根的判别式．CGF版权所有
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0，∴x＝1，x＝m+2，∴m+2＞0，m＞﹣2，
∵m是负整数，∴m＝﹣1．
20．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．CGF版权所有
【解答】解：
（1）∵点A（1，0）在抛物线上，∴（1﹣2）2+m＝0，∴m＝﹣1，∴y1＝（x﹣2）2﹣1；
（2）抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1的对称轴为x＝2，与y的交点C的坐标为（0，3），
∵点D是点C关于对称轴x＝2的对称点，∴点D的坐标为（4，3），
直线AD经过点A，D，∴，解得k＝1，b＝﹣1，∴y＝x﹣1；
（3）当1＜x＜4时，y2＞y1．
21．【考点】加权平均数；用样本估计总体．CGF版权所有
【解答】解：（1）这10户家庭月平均用水＝（10×2+13×2+14×3+17×2+18）÷10＝14（吨）；
（2）该小区每月用水＝14×500＝7000（吨）．
22．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．CGF版权所有
【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得：≥10%，x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
∴S＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，﹣m2+m+2），N（n，0），
当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2＝﹣m2+m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1，∴N（1，0）；
当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0＝﹣m2+m+4，
解得m＝，n＝或m＝，n＝，
∴N（，0）或（，0）；
当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2＝﹣m2+m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7，∴N（7，0）；
综上所述：N点坐标为（1，0）或（，0）或（，0）或（7，0）．
27．【考点】二次函数综合题．CGF版权所有
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，5）．∴c＝5，
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0）、B（5，0），故答案为：﹣1，0；5，0；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M的坐标为：（2，9）；
（3）由（2）知，抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵DE∥x轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
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