杭州市2024-2025学年八年级上学期期中模拟考试数学（二）
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
3．（3分）能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中a可取的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
4．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．2，5，6 B．1，1， C．3，4，5 D．5，12，13
5．（3分）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（3分）若a＜b，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B．ac＞bc C．a﹣1＜b﹣1 D．a2＞b2
7．（3分）语句“x的与x的和不小于2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形
（2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE
（4）AD2+BE2＝DE2
（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AB＝5，CB＝3，则DA的长是（ ）
A． B． C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
10．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝ cm．
11．（4分）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为 ．
12．（4分）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，DE是AB边的垂直平分线，交AB、BC于点E、D．连接AD．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为 cm．
14．（4分）如图，在三角形ABC中，点D，E是边AC上两点，点F在边AB上，将三角形BDC沿BD折叠得到三角形BDG，DG交AB于点H，将三角形EFA沿EF折叠恰好得到三角形EFH，且HE∥BD．下列四个结论：
①∠EHD＝∠HED；
②∠A＝∠ADH；
③∠EHD＝2∠HBD；
④若4∠ABC＝3∠AHD，则∠ABD＝4∠ABG．
其中正确的结论是 （填写序号）．
15．（4分）如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 ．
三．解答题（共7小题，满分62分）
16．按要求画图：
如图，在同一平面内有三点A、B、C．
（1）画直线AB和射线BC；
（2）连接线段AC，取线段AC的中点D；
（3）画出点D到直线AB的垂线段DE．
17．（8分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
（3）解不等式组：﹣3x＜1﹣x≤x+5．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过AC的中点E作FG∥AD，交BA的延长线于点F，交BC于点G．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BCAB，AF，求BC的长．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ADC≌△ADE．
（2）若CD＝2，BD＝4，求BE的长．
20．（10分）如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B（BC⊥AC），然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60m．求DC的长．
21．（12分）（2022春 抚顺县期末）永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树2棵，B种树3棵，需要2700元；购买A种树4棵，B种树5棵，需要4800元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于52500元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
22．（12分）如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DEF是等边三角形，连接CE，ED的延长线交AB于H，求证：CF+CE＝CD．
杭州市2024-2025学年八年级上学期期中模拟考试数学（二）
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
【思路点拔】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，4，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
3．（3分）能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中a可取的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【思路点拔】分别把各选项的值代入即可进行判断．
【解答】解：A．当a＝﹣1时，，符合题意；
B．当a＝0时，，不符合题意；
C．当a＝1时，，不符合题意；
D．当时，，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．2，5，6 B．1，1， C．3，4，5 D．5，12，13
【思路点拔】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】解：A，22+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
B，12+12＝2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C，32+42＝25＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D，52+122＝169＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】由含30°角的直角三角尺，可得∠EDF＝60°，根据平行线的性质，可求出∠1．
【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF＝60°，
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠EDF＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
6．（3分）若a＜b，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B．ac＞bc C．a﹣1＜b﹣1 D．a2＞b2
【思路点拔】根据a＜b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＜b，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴c＜0时，ac＞bc，c＝0时，ac＝bc，c＞0时，ac＜bc，
∴选项B不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，
∴选项C符合题意；
∵a＜b时，a2＜b2，a2＝b2，a2＞b2都可能成立，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
7．（3分）语句“x的与x的和不小于2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意，将文字描述按运算法则表示成不等式即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
故选：D．
【点评】本题考查列不等式，掌握代数式相关基本运算法则是解决问题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形
（2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE
（4）AD2+BE2＝DE2
（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，∠ACM＝∠MCB＝45°，CMAB＝AM＝BM，CM⊥AM，得出∠A＝∠B＝∠MCE＝∠ACM＝45°，∠AMC＝∠BMC＝90°，证明△ACM≌△BCM（SAS）；证出∠AMD＝∠CME，∠DMC＝∠EMB，证明△ADM≌△CEM（ASA），同理△CDM≌△BEM（ASA），（1）不正确；由全等三角形的性质得出DM＝EM，△DEM是等腰三角形，（2）正确；由等腰直角三角形的性质得出∠MDE＝∠MED＝45°，由三角形的外角性质得出∠CDM＝∠CFE，（3）正确；由全等三角形的性质得出AD＝CE，CD＝BE，由勾股定理得出CE2+CD2＝DE2，得出AD2+BE2＝DE2，（4）正确；证出四边形CDME的面积＝△ACM的面积△ABC的面积，（5）不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
又∵M是AB的中点，
∴∠ACM＝∠MCB＝45°，CMAB＝AM＝BM，CM⊥AM，
∴∠A＝∠B＝∠MCE＝∠ACM＝45°，∠AMC＝∠BMC＝90°，
在△ACM和△BCM中，，
∴△ACM≌△BCM（SAS）；
∵∠DME＝90°，
∴∠AMD＝∠CME，∠DMC＝∠EMB，
在△ADM与△CEM中，，
∴△ADM≌△CEM（ASA），
同理：△CDM≌△BEM（ASA），（1）不正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形，（2）正确；
∵∠DME＝90°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴∠MDE＝∠MED＝45°，
∵∠CDM＝∠CDF+∠MDE＝∠CDF+45°，∠CFE＝∠DCF+∠CDF＝45°+∠CDF，
∴∠CDM＝∠CFE，（3）正确；
∵△ADM≌△CEM，△CDM≌△BEM，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵∠ACB＝90°，
∴CE2+CD2＝DE2，
∴AD2+BE2＝DE2，（4）正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴四边形CDME的面积＝△ACM的面积△ABC的面积，
即四边形CDME的面积不发生改变，（5）不正确；
正确的结论有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AB＝5，CB＝3，则DA的长是（ ）
A． B． C．3 D．4
【思路点拔】利用基本作图得到得BP平分∠ABC，利用勾股定理可计算出AC＝4，过D点作DH⊥AB于H点，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC，则利用三角形面积公式得到S△ABD：S△BCD＝BA：BC＝5：3＝AD：CD，然后利用比例的性质可求出AD的长．
【解答】解：由作法得BP平分∠ABC，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，CB＝3，
∴AC4，
过D点作DH⊥AB于H点，如图，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，
∴DH＝DC，
∴S△ABD：S△BCD＝BA：BC＝5：3，
∵S△ABD：S△BCD＝AD：CD，
∴AD：CD＝5：3，
∴ADAC4．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
10．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝ 8 cm．
【思路点拔】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且已知中线CD的长，则可直接得出斜边AB的长度．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，属于基础知识的考查，比较简单．
11．（4分）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为 9＜k＜41 ．
【思路点拔】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，
∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16
同理：
有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16
两式相加：a2+b2+2c2＝41
即a2+b2＝41﹣2c2
又∵﹣16＜﹣c2＜0
即﹣32＜﹣2c2＜0
∴9＜41﹣2c2＜41
即9＜k＜41．
【点评】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变；
12．（4分）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角为 70°或40° ．
【思路点拔】首先要进行分析题意，“等 腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．
【解答】解：本题分两种情况，
①当70°角为顶角时，顶角的度数为70°，
②当70°角为底角时，顶角的度数为180°﹣2×70°＝40°；
∴这个等腰三角形的顶角为40°或70°．
故答案为：70°或40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，DE是AB边的垂直平分线，交AB、BC于点E、D．连接AD．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为 12 cm．
【思路点拔】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△ADC的周长为17，
∴AC+CD+AD＝17，
∴AC+CD+BD＝AC+BC＝17，
∴BC＝17﹣5＝12（cm），
故答案为：12．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（4分）如图，在三角形ABC中，点D，E是边AC上两点，点F在边AB上，将三角形BDC沿BD折叠得到三角形BDG，DG交AB于点H，将三角形EFA沿EF折叠恰好得到三角形EFH，且HE∥BD．下列四个结论：
①∠EHD＝∠HED；
②∠A＝∠ADH；
③∠EHD＝2∠HBD；
④若4∠ABC＝3∠AHD，则∠ABD＝4∠ABG．
其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【思路点拔】①由EH∥BD得∠EHD＝∠HDB，∠HED＝∠CDB，再由折叠的性质得∠HDB＝∠CDB，据此可对结论①进行判断；
②设∠A＝α，由折叠的性质得：∠A＝∠EHA＝α，由结论①正确得∠EHD＝∠HED＝2α，进而得∠ADH＝180°﹣4α，如果∠A＝∠ADH，则α＝180°﹣4α，解得α＝36°，根据题目中的已知条件无法确定∠A＝36°，据此可对结论②进行判断；
③设∠A＝α，则∠EHD＝∠HED＝∠BDC＝2α，进而得∠HBD＝α，据此可对结论③进行判断；
④设∠A＝α，∠ABG＝β，进而得∠GBD＝∠CBD＝α+β，∠ABC＝2α+β，∠AHD＝3α，然后再由4∠ABC＝3∠AHD得4（2α+β）＝3×3α，由此得α＝4β，据此可对结论④进行判断．综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵EH∥BD，
∴∠EHD＝∠HDB，∠HED＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠HDB＝∠CDB，
∴∠EHD＝∠HED，
故结论①正确；
②设∠A＝α，
由折叠的性质得：∠A＝∠EHA＝α，
∴∠HED＝∠EHA+∠A＝2α，
由结论①正确得：∠EHD＝∠HED＝2α，
∴∠ADH＝180°﹣（∠EHD+∠HED）＝180°﹣4α，
如果∠A＝∠ADH，
则α＝180°﹣4α，解得：α＝36°，
即：∠A＝36°，
根据题目中的已知条件无法确定∠A＝36°，
∴无法确定∠A与∠ADH相等，
故结论②不正确；
③设∠A＝α，
由结论①正确得：∠EHD＝∠HED＝2α，
∴∠BDC＝∠HED＝2α，
又∠BDC＝∠A+∠HBD，
即：2α＝α+∠HBD，
∴∠HBD＝α，
∴∠EHD＝2α＝2∠HBD，
故结论③正确；
④设∠A＝α，∠ABG＝β，
由③可知：∠HBD＝α，则∠GBD＝α+β，
由折叠的性质得：∠A＝∠EHA＝α，
∴∠ABC＝∠HBD+∠CBD＝α+α+β＝2α+β，
由结论①正确得：∴∠EHD＝∠HED＝2α，
∴∠AHD＝∠EHA+∠EHD＝α+2α＝3α，
∵4∠ABC＝3∠AHD，
∴4（2α+β）＝3×3α，即：α＝4β，
∴∠ABD＝4∠ABG，
故结论④正确．
综上所述：结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形内角和定理．
15．（4分）如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 ．
【思路点拔】由四边形ADPE是筝形得：S四边形ADPE18，及AP DE＝18，当AP取最小值时，DE有最大值，当AP⊥BC时，AP取到最小值为36，即求得DE，由AN即可求得AN的最大值．
【解答】解：如图，
∵ADPE是筝形，
∴S四边形ADPE18，
∴AP DE＝18，
当AP取最小值时，DE有最大值，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝100，BC2＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵P为BC边上的一个动点，
∴当AP⊥BC时，AP取到最小值，
∴AP的最小值为：，
∴36，
∴DE，
在Rt△ADE中，点N为DE的中点，
∴AN，
∴当DE取最大值时，AN有最大值，
∴AN的最大值为，
故答案为．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短等知识，理解题意，运用面积法求出AP的最小值是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分62分）
16．按要求画图：
如图，在同一平面内有三点A、B、C．
（1）画直线AB和射线BC；
（2）连接线段AC，取线段AC的中点D；
（3）画出点D到直线AB的垂线段DE．
【思路点拔】利用直线、射线、线段和垂线段的定义，根据题中的几何语言画出对应的几何图形．
【解答】解：（1）如图，直线AB、射线BC为所作；
（2）如图，线段AC和点D为所作；
（3）如图，线段DE为所作．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了直线、射线、线段的定义．
17．（8分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
（3）解不等式组：﹣3x＜1﹣x≤x+5．
【思路点拔】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
（3）已知不等式变形为不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣3＜5x+2，
移项得：3x﹣5x＜2+3，
合并得：﹣2x＜5，
解得：x，
（2），
由①得：x＜﹣3，
由②得：x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜﹣3，
则不等式组的整数解为﹣5，﹣4；
（3）变形得：，
由①得：x，
由②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为x．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过AC的中点E作FG∥AD，交BA的延长线于点F，交BC于点G．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BCAB，AF，求BC的长．
【思路点拔】（1）由∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，得∠BAD＝∠CAD＝45°，由平行线的性质得∠F＝∠BAD＝45°，∠AEF＝∠CAD＝45°，则∠F＝∠AEF，所以AE＝AF；
（2）由点E为AC的中点，得CE＝AE＝AF，则AC＝2AE＝2，因为ACAB，所以AB＝2，则AB，所以BC．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴FG∥AD，
∴∠F＝∠BAD＝45°，∠AEF＝∠CAD＝45°，
∴∠F＝∠AEF，
∴AE＝AF．
（2）解：∵点E为AC的中点，
∴CE＝AE＝AF，
∴AC＝2AE＝2，
∵BCAB，
∴ACAB，
∴AB＝2，
解得AB，
∴BC，
∴BC的长为．
【点评】此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，证明∠F＝∠AEF及ACAB是解题的关键．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ADC≌△ADE．
（2）若CD＝2，BD＝4，求BE的长．
【思路点拔】（1）利用AAS即可证明△ADC≌△ADE；
（2）结合（1）根据勾股定理即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ADC和△ADE中，
，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
（2）解：∵△ADC≌△ADE，
∴DE＝DC＝2，
在Rt△BDE中，BD＝4，根据勾股定理，得
BE2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合用转化的思想思考问题．
20．（10分）如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B（BC⊥AC），然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60m．求DC的长．
【思路点拔】由∠ADB的度数可求出∠BDC的度数，由三角形外角的性质结合∠A＝30°可得出∠ABD＝∠A，进而可得出AD＝BD，再通过解含30°角的直角三角形即可求出CD的长度．
【解答】解：∵∠ADB＝120°，
∴∠BDC＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD．
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，BD＝60m，
∴∠CBD＝30°，CDBD＝30m．
【点评】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，根据三角形外角的性质结合等腰三角形的性质找出BD＝AD是解题的关键．
21．（10分）永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树2棵，B种树3棵，需要2700元；购买A种树4棵，B种树5棵，需要4800元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于52500元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【思路点拔】（1）设购买A种树每棵需要x元，B种树每棵需要y元，根据“购买A种树2棵，B种树3棵，需要2700元；购买A种树4棵，B种树5棵，需要4800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种树m棵，则购进B种树（100﹣m）棵，根据购进A种树不能少于48棵且购买这两种树的资金不低于52500元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买A种树每棵需要x元，B种树每棵需要y元，
依题意，得：，解得：．
答：购买A种树每棵需要450元，B种树每棵需要600元．
（2）设购进A种树m棵，则购进B种树（100﹣m）棵，
依题意，得：，解得：48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m为48，49，50．
当m＝48时，100﹣m＝100﹣48＝52；
当m＝49时，100﹣m＝100﹣49＝51；
当m＝50时，100﹣m＝100﹣50＝50．
答：有三种购买方案，第一种：A种树购买48棵，B种树购买52棵；第二种：A种树购买49棵，B种树购买51棵；第三种：A种树购买50棵，B种树购买50棵．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．（12分）如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DEF是等边三角形，连接CE，ED的延长线交AB于H，求证：CF+CE＝CD．
【思路点拔】在BC上截取CG＝CF，连接FG，根据SAS证明△DFG≌△EFC即可得出结论．
【解答】证明：在BC上截取CG＝CF，连接FG．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴FG＝FC，∠GFC＝60°，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD＝FE，∠DFE＝60°，
∴∠DFG＝∠EFC，
在△DFG与△EFC中，
∴，
∴△DFG≌△EFC（SAS）．
∴DG＝EC，
CF+CE＝CD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
