第1-2章阶段复习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 红桥区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．2x2+3x＝2 C．x﹣y＝4 D．
2．（2024秋 凉州区期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+3c＝0有一个解为x＝1，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．（2024秋 红桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则原方程可化为（ ）
A．（x﹣2）（x﹣1）＝0 B．（x﹣2）（x+1）＝0
C．（x+2）（x﹣1）＝0 D．（x+2）（x+1）＝0
4．（2024秋 桥西区校级月考）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ）
A．10米 B．12米 C．15米 D．不存在
5．（2024秋 邳州市校级月考）已知⊙O的直径为10cm，点P到圆心O的距离为8cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
6．（2024秋 兴化市月考）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
7．（2024秋 江北区校级月考）如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点M．若AB＝8，MC＝2，则OM长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2024秋 江北区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2AB，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，交BA延长线于点F，连接BE，再以BC为直径画半圆．则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 渝中区校级月考）方程x2﹣2x+a＝0有实数根，a的取值范围是 ．
10．（2024秋 武进区校级月考）已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ．
11．（2024秋 红桥区期中）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2023秋 秦淮区期末）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．
13．（2024 宝应县校级模拟）已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，AB＝2，则∠ACB＝ ．
14．（2024 济宁二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝12，AD＝10，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ．
15．（2024 盱眙县校级模拟）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为 平方步．
16．（2024秋 新沂市校级月考）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，3），则圆的直径长度是 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 江阴市校级月考）解方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣6x﹣1＝0（用配方法）
（3）2x2﹣7x+3＝0
（4）2x（x﹣3）﹣5（3﹣x）＝0
18．（2024秋 江阴市校级月考）已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根：
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，求实数a的值．
19．（2024秋 惠城区校级月考）某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量．
（1）求空调的下降率；
（2）若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售．
20．（2024秋 西城区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且CF＝CA，连接AF．求证：AF＝CD．
21．（2024春 松北区期末）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米．
（1）求道路的宽度；
（2）园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？
22．（2024 旺苍县一模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．
23．（2024 武威三模）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O切线；
（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．
24．（2024秋 宿迁月考）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC于点D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断AF与BG之间数量关系并说明理由；
（2）若点E与点A在直径BC的两侧，其余条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立给予证明，若不成立，请说明理由．
第1-2章阶段复习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 红桥区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．2x2+3x＝2 C．x﹣y＝4 D．
【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，不符合题意；
B、2x2+3x＝2是一元二次方程，符合题意；
C、x﹣y＝4是二元一次方程，不符合题意；
D、是分式方程，不符合题意；
故选：B．
2．（2024秋 凉州区期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+3c＝0有一个解为x＝1，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+2x+3c＝0的一个解，
∴把x＝1代入x2+2x+3c＝0，得1+2+3c＝0，
解得：c＝﹣1，
故选：B．
3．（2024秋 红桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则原方程可化为（ ）
A．（x﹣2）（x﹣1）＝0 B．（x﹣2）（x+1）＝0
C．（x+2）（x﹣1）＝0 D．（x+2）（x+1）＝0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝1，
∴原方程可化为（x+2）（x﹣1）＝0．
故选：C．
4．（2024秋 桥西区校级月考）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ）
A．10米 B．12米 C．15米 D．不存在
【解答】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（49+1﹣2x）米，
由题意列方程可得：x（49+1﹣2x）＝300，
解得x1＝10，x2＝15，
当菜地垂直于墙的一边的长为10米时，平行于墙的一边的长为30米，大于墙长的22米，
所以菜地垂直于墙的一边的长为15米．
故选：C．
5．（2024秋 邳州市校级月考）已知⊙O的直径为10cm，点P到圆心O的距离为8cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
∵点P到圆心O的距离为8cm大于⊙O半径，
∴点P在圆外，
故选：B．
6．（2024秋 兴化市月考）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴．
故选：C．
7．（2024秋 江北区校级月考）如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点M．若AB＝8，MC＝2，则OM长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB⊥CD，AB＝8，
∴AM＝AB＝4，
设OA＝r，
∵MC＝2，
∴OM＝r﹣2，
在Rt△OAM中，由勾股定理，
得OA2＝AM2+OM2，
即r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴OM＝5﹣2＝3．
故选：D．
8．（2024秋 江北区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2AB，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，交BA延长线于点F，连接BE，再以BC为直径画半圆．则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，连接ON，过点N作NM⊥OC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵AB＝2，AD＝2AB，
∴AD＝BC＝BE＝4，
∴AB＝BE，
∴∠AEB＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB＝30°，
∴∠CON＝60°，
∵ON＝OC＝2，
Rt△ONM中，∠ONM＝30°，
∴OM＝ON＝1，
∴NM＝＝，
∴S＝S扇形BEC﹣S△BON﹣S△ONC
＝﹣×2×﹣
＝﹣﹣π
＝﹣．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 渝中区校级月考）方程x2﹣2x+a＝0有实数根，a的取值范围是 a≤1 ．
【解答】解：由题意，得：
Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，
解得：a≤1，
故答案为：a≤1．
10．（2024秋 武进区校级月考）已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ﹣5 ．
【解答】解：A＝x2+10x+20＝（x+5）2﹣5，
∵（x+5）2≥0，
∴A＝（x+5）2﹣5≥﹣5，即A的最小值为﹣5，
故答案为：﹣5．
11．（2024秋 红桥区期中）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜4 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，
解得，k＜4．
故答案为：k＜4．
12．（2023秋 秦淮区期末）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 36（1﹣x）2＝25 ．
【解答】解：由题意可得，
36（1﹣x）2＝25，
故答案为：36（1﹣x）2＝25．
13．（2024 宝应县校级模拟）已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，AB＝2，则∠ACB＝ 30°或150° ．
【解答】解：如图，
∵AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
当点C在优弧AB上时，
∴，
当点C在劣弧AB上时，记为C′，
∴∠ACB+∠AC′B＝180°，
∴∠AC′B＝180°﹣30°＝150°，
∴∠ACB的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
14．（2024 济宁二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝12，AD＝10，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 8 ．
【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，如图，
设BO与⊙O的交点为点F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠DAF+∠BAE＝90°，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣（∠DAF+∠ADF）＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到BO与⊙O的交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD＝10，AB＝12，
∴，
∴，
∴BF的最小值为BF′＝OB﹣OF′＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
15．（2024 盱眙县校级模拟）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为 120 平方步．
【解答】解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，
∴这块田的面积S＝＝120（平方步），
故答案为：120．
16．（2024秋 新沂市校级月考）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，3），则圆的直径长度是 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝135°，
∴∠A＝45°，
又AB⊥BD，
∴∠ADB＝∠A＝45°，
∴DB＝AB，
∵点A的坐标为（0，3），
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝＝3．
∵AB⊥BD，
∴线段为圆的直径，
∴圆的直径为3．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 江阴市校级月考）解方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣6x﹣1＝0（用配方法）
（3）2x2﹣7x+3＝0
（4）2x（x﹣3）﹣5（3﹣x）＝0
【解答】解：（1）∵2x2﹣8＝0，
∴x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝10，即：（x﹣3）2＝10，
∴x﹣3＝±，
∴；
（3）2x2﹣7x+3＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
∴；
（4）2x（x﹣3）﹣5（3﹣x）＝0，
2x（x﹣3）+5（x﹣3）＝0，
∴（2x+5）（x﹣3）＝0，
∴2x+5＝0或x﹣3＝0，
∴；
18．（2024秋 江阴市校级月考）已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根：
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，求实数a的值．
【解答】（1）证明：由题意可知：Δ＝（a+3）2﹣4×1×（a+1）＝a2+6a+9﹣4a﹣4＝a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0，
故方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意可知：x1+x2＝﹣（a+3），x1 x2＝a+1，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，
∴x1 x2﹣2x1﹣2x2+4＝2，
∴x1 x2﹣2（x1+x2）+4＝2，
∴a+1﹣2[﹣（a+3）]+4＝2，
解得：a＝﹣3．
19．（2024秋 惠城区校级月考）某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量．
（1）求空调的下降率；
（2）若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售．
【解答】解：（1）空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元，
∴设降价率为x，
∴3500（1﹣x）2＝2835，则，
∴，
解得，x＝10%或x＝190%，
∵是降价，
∴x＝10%，即空调的下降率为10%；
（2）设下降了y个10元，则现在的售价为（800﹣10y）元，现在的销售量为（1200+2y）台，
∴（800﹣10y）（1200+2y）＝854000，
整理得，y2+520y﹣5300＝0，
解得，y1＝﹣530（不符合题意，舍去），y2＝10，
∴下降了10个10元，即下降了100元，则800﹣100＝700（元），
∴空调应按照700元销售．
20．（2024秋 西城区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且CF＝CA，连接AF．求证：AF＝CD．
【解答】证明：如图，连接CF、CA，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵CF＝CA，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝CD．
21．（2024春 松北区期末）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米．
（1）求道路的宽度；
（2）园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？
【解答】解：（1）设道路的宽度为x米，
由题意得：（10﹣x）（8﹣x）＝63，
解得：x1＝1，x2＝17（不符合题意，舍去），
答：道路的宽度为1米；
（2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉（400﹣m）株，
由题意得：10m+8（400﹣m）≤3680，
解得：m≤240，
答：最多购进A种花卉240株．
22．（2024 旺苍县一模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．
【解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，
∴OD＝（r﹣2）m．
∵AB＝8m，OC⊥AB，
∴AD＝4m．
在Rt△ODA中有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+4，
解得r＝5m
则该桨轮船的轮子直径为10m．
23．（2024 武威三模）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O切线；
（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE＝90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD＝6，
∴DF＝FC＝3．
在Rt△OFD中，OF＝AE＝4，
∴OD＝＝＝5，
在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2，
∴AD＝，
∴AD的长是．
24．（2024秋 宿迁月考）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC于点D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断AF与BG之间数量关系并说明理由；
（2）若点E与点A在直径BC的两侧，其余条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立给予证明，若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1），理由如下，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC＝90°，
又∵，
∴∠ABE＝∠C，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴AF＝FG，
∵∠BAD+∠FAG＝90°，∠ABF+∠AGF＝90°，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴AF＝BF．
∴AF＝BF＝FG．
∴．
（2）结论成立，理由如下：
∵BC为直径，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵，
∴∠ABE＝∠C，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴AF＝BF，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABE+∠AGB＝90°，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴AF＝FG．
∴AF＝FG＝BF．
∴．
