祁阳市文昌中学2024年下学期第一阶段核心素养调研
九年级数学（试题卷）
（时量：120分钟 分值：120分）
一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.如果点在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ）
A. B. C. D.
3.a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长可能为（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm
4.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上.已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A.6 B. C.3 D.
7.如图，P是叶脉AB的黄金分割点（），则（ ）
A. B. C. D.
8.已知方程可以配方成，则的值为（ ）
A.0 B.1 C. D.
9.对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
⑤存在实数m、n（），使得；其中正确的（ ）
A.只有①②④ B.只有①②④⑤ C.①②③④⑤ D.只有①②③
10.反比例函数（，a为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点M在的图象上，轴于点C.交的图象于点A；轴于点D，交的图象于点B，当点M在的图象上运动时，以下结论：
①；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点.
其中正确结论的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二.填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11.若，则______.
12.反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是______.
13.已知，点C在线段AB上，AC是AB，BC的比例中项，则AC的长______.
14.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，则三角形的周长为______.
15.有一人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给了______人.
16.对于实数a，b，定义运算“”：.例如，因为，所以.若，是一元二次方程的两个根，则______.
17.如图，，，，则______.
18.如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为______.
三.解答题（共8小题，满分66分）
19.（6分）解方程：（1）；
（2）.
20.（6分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.
21.（8分）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件.
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
22.（8分）如图，，，，.
（1）求EC的值；
（2）求证：.
23.（9分）在长方形ABCD中，，，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
24.（9分）第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行，某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售，已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）.
（1）求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式；
（2）求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？
25.（10分）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出的解集；
（3）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为12，求平移后的直线表达式.
26.（10分）若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“差根方程”：
①______；②______；（填是或否）
（2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程（a，b是常数，）是“差根方程”，请写出a与b之间的数量关系式.
2024年下学期第一阶段核心素养调研
九年级数学试卷（答案）
（时量：120分钟 分值：120分）
一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C B A B B D
二.填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 12. 13. 14.16
15.14 16. 17.10 18
三.解答题（共8小题，满分66分）
19.（6分）
【解答】（1），
（2），
20.（6分）【解答】
（1）证明：
；
又，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：，，，
，
，
整理得，
解得或，
故的值为5或-2.
21.（8分）
【解答】解：（1）设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：月平均增长率是。
（2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，依题意得：，
整理得：，
解得：，.
又要尽量减少库存，
.
答：售价应降低30元.
22.（8分）
【解答】（1）解：
，
，
又，，
，
解得，
；
（2）证明：
，，
，
23.【解答】
解：（1）从点开始沿边向终点以的速度移动，
，
，
，
由题意得：，
解得：，；
当秒或2秒时，的长度等于5cm； 4分
（2）存在； 1分
当秒，能够使得五边形的面积等于.
理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，，
解得：（不合题意舍去），.
即当秒时，使得五边形的面积等于. 4分
24.【解答】
解：（1）当时，设解析式为，将代入得：，
反比例函数解析式为；
当时，设解析式为，将点，代入得：
，解得，
一次函数解析式为.
. 4分
（2）当时，，
此时，随的增大而增大，当时，；
当时，，
此时，当时，.
综上分析，当售价定7元时，利润最大，是11万元. 5分
25.【解答】
解：（1）令一次函数中，则解得：，即点A的坐标为.
点在反比例函数的图象上
，
反比例函数的表达式为. 3分
（2）或. 3分
（3）连接、如图所示.
设平移后的解析式为，
该直线平行直线，
的面积为36，
，
，
，
平移后的直线的函数表达式为. 4分
26.【解答】
解：（1）①否 ；②是； 4分
（2），
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即； 3分
（3）设，是一元二次方程（，是常数，）的两个实数根，
，，
关于的方程（，是常数，）是“差根方程”，
，
，即，
. 3分
