2024-2025学年第一学期阶段评估（二）九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列一元二次方程中，两根之和为1的是（ ）
A. x2+x+1＝0 B. x2﹣x+3＝0 C. 2x2﹣x﹣1＝0 D. x2﹣x﹣5＝0
5. 如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A. 25 mm B. 20mm C. 15 mm D. 8mm
7. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ）
A. E B. F C. G D. H
8. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．点B、C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A. 8 B. 7 C. 8或7 D. 9或8
10. 如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD=BC，CE= AC，BE、AD 相交于点 F，连接 DE， 则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF DA；④AF BE=AE AC，正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 方程x2=4x的解 __．
12. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P；③作射线交边于点D．若，则_______．
13. 某市有一块正方形的空地需要美化，规划设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉， 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离都为3 m，种植花草的区域的面积为60 m2，设水池半径为m，根据题意可列出方程为_________
14. 已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝8，则MN＝_____．
15. 如图，在菱形中，对角线，点为的中点，点在上且F为中点，连接交于点，若，，则线段的长为 ________________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）．
17. 如图，在中，．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．设两个动点运动了x秒，试求出使是直角三角形的x值．
18. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，我市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了九年级部分学生在家劳动时间x（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：），调查的九年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了__________名学生，补全条形统计图；
（2）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
19. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
20. 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据
请你参与这个项目学习，并完成下列任务
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；
（3）任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。
21. 请认真阅读下面材料，并完成相应任务：
利用多项式乘法法则可知，所以因式分解．
利用以上的因式分解可以解方程：
解：，
∴或，
∴．
任务：
（1）利用因式分解解方程：；
（2）解方程；
（3）若菱形的一条对角线长是，边长是方程的一个根，则这个菱形的面积为______．
22. 综合与探究
（1）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分．
①求证：四边形是菱形；
②直接写出的度数．
（2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由．
23. 综合与探究
问题背景：
在数学课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知在中，，P为上的动点，小亮拿含角的透明三角尺，使角的顶点落在点P，三角尺可绕P点旋转．
猜想证明：
（1）如图a，当三角尺的两边分别交，于点E，F时，求证：；
（2）将三角尺绕点P旋转到图b情形时，三角尺的两边分别交的延长线，边于点E，F．与还相似吗？（只需写出结论）
深入探究：
（3）在（2）的条件下，连接，与是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，与相似？说明理由．
答案和解析
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的分母含未知数，不是一元二次方程；
B． 是一元二次方程；
C．当时，不是一元二次方程；
D．化简得，不是一元二次方程；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程．
2. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键．
根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．
∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为．
故选：A．
3. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
4. 下列一元二次方程中，两根之和为1的是（ ）
A. x2+x+1＝0 B. x2﹣x+3＝0 C. 2x2﹣x﹣1＝0 D. x2﹣x﹣5＝0
【答案】D
【解析】
【分析】由方程的判别式及根与系数的关系判定即可．
【详解】解：由根与系数的关系可得x2﹣x+3＝0与x2﹣x﹣5＝0的两根之和为1．
∵x2﹣x+3＝0中，△＜0，无实根，
∴x2﹣x﹣5＝0的两根之和为1．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用△判定方程是否有实根．
5. 如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知条件判定，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．
【详解】解：A、由矩形，可得，，
．
又，
，故A正确；
B、由，可得，
由矩形，可得，
又，
，故B正确；
C、由，可得，
由矩形，可得，
，故C正确；
D、不一定等于，
直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．
6. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A. 25 mm B. 20mm C. 15 mm D. 8mm
【答案】A
【解析】
【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解．
【详解】解：如图2，连接BD，
∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，
∴，又∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，又EF=20，
∴，解得：BD=45，
如图3，连接BD，
∵BEDF，BE=DF，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∵∠BEF=90°，
∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20，
∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm），
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键．
7. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ）
A. E B. F C. G D. H
【答案】D
【解析】
【分析】连接并延长，根据位似变换性质判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长，
以点为位似中心，点D是点C的对应点，
位似比为，
则点A的对应点是H，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．
8. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．点B、C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可， 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
故选：C．
9. 若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A. 8 B. 7 C. 8或7 D. 9或8
【答案】C
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可知“a＝b，或a、b中有一个数为4”，当a＝b时，由根的判别式b2﹣4ac＝0即可得出关于k的一元一次方程，解方程可求出此时n的值；a、b中有一个数为4时，将x＝4代入到原方程可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出此时的n值，结合三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一个数为4．
当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，
解得：n＝8；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，
解得：n＝7，此时，三边4,4,2，三角形存在
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及三角形三边关系，解题的关键是分两种情况考虑k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出关于未知数k的方程是关键．
10. 如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD=BC，CE= AC，BE、AD 相交于点 F，连接 DE， 则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF DA；④AF BE=AE AC，正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和， 即可证∠AFE=60°；②从 CD 上截取 CM=CE，连接 E M，证△CEM 是等边三角形，可证明 DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DF DA；
④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出 AF BE=AE AC．
【详解】解：∵△ABC 是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∵BD=BC，CE=AC
∴BD=EC
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°
∴∠ABE+∠CBE=60°
∵∠AFE 是△ABF 的外角
∴∠AFE=60°
∴①是对的；
如图，从 CD 上截取 CM=CE，连接 EM，则△CEM 是等边三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD2=DF DA
∴CE2=DF DA
∴③是对的；
在△AFE 和△BAE 中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB 是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF BE=AE AC∴④是正确的． 故选D．
【点睛】
本题考查三角形外角与内角的关系，直角三角形的判定，全等三角形和相似三角形的判定及性质，内容较多，较为复杂,解题关键是熟练掌握这些知识点．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 方程x2=4x的解 __．
【答案】x=0或x=4
【解析】
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故答案为：x=0或x=4．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.
12. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P；③作射线交边于点D．若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，相似三角形的性质，直角三角形的性质．根据作法可得平分，再根据相似三角形的性质，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作法得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 某市有一块正方形的空地需要美化，规划设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉， 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离都为3 m，种植花草的区域的面积为60 m2，设水池半径为m，根据题意可列出方程为_________
【答案】
【解析】
【分析】设水池半径为xm，继而表示出正方形的边长，根据面积公式列一元二次方程即可．
【详解】设水池的半径为xm，则正方形的边长为m，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14. 已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝8，则MN＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM＝5，根据等腰三角形的性质得到BN＝4，根据勾股定理得到答案．
【详解】解：连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC＝5，
∵N是BD中点，
∴MN⊥BD，
∴BN＝BD＝4，
由勾股定理得：MN＝＝＝3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
15. 如图，在菱形中，对角线，点为的中点，点在上且F为中点，连接交于点，若，，则线段的长为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键．
作于点，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，得到，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：作于点，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
（1）利用因式分解法求解可得出答案；
（2）利用公式法求解可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
则，
解得，；
【小问2详解】
解：
∵，，，
∴，
则，
即，．
17. 如图，在中，．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．设两个动点运动了x秒，试求出使是直角三角形的x值．
【答案】x的值是2或．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识，分①，②两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
①若，则，此时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
②若，则，此时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
综上所述：x的值是2或．
18. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，我市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了九年级部分学生在家劳动时间x（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：），调查的九年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了__________名学生，补全条形统计图；
（2）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【答案】（1）图见解析，50；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式、条形统计图与扇形统计图，能够读懂统计图，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得共调查的学生人数；求出E档的学生人数，进而可得E档中女生人数，补全条形统计图即可．
（2）E档中有2名男生，2名女生，列表可得出所有等可能结果数以及所选两名学生恰好都是女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次调查中，共调查了学生： （名）．
∵E档的学生人数为：（人），
∴E档中女生人数为：（人）．
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50；
【小问2详解】
解：由（1）知，E档中有2名男生，2名女生，列表如下：
男 男 女 女
男
男
女
女
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
∴所选两名学生恰好都是女生的概率为：．
19. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
【答案】（1）售价应定为每个元．
（2）这两周的平均增长率为．
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可；
（2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：设售价应定为每个元，则
，
整理得：，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
【小问2详解】
解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
20. 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据
请你参与这个项目学习，并完成下列任务
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；
（3）任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。
【答案】（1）
（2）相似三角形对应边成比例
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
（1）任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出的长；
（2）任务二：用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
（3）任务三：除了利用相似来测量河的宽度，我们还可以利用全等来测量．
【小问1详解】
解：由题知，
．
，
又，
解得：．
答：河流的宽度为．
【小问2详解】
解：由题意得：相似三角形的对应边成比例（答案不唯一，合理即可）；
【小问3详解】
解：（答案不唯一，合理即可）．在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达处，在处坚立一竹竿，然后继续向东行走到处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与共线时停下，位置记为，这时的长度即表示河流的宽度．
21. 请认真阅读下面材料，并完成相应任务：
利用多项式乘法法则可知，所以因式分解．
利用以上的因式分解可以解方程：
解：，
∴或，
∴．
任务：
（1）利用因式分解解方程：；
（2）解方程；
（3）若菱形的一条对角线长是，边长是方程的一个根，则这个菱形的面积为______．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用换元法解方程即可；
（3）先利用因式分解法求出方程的根，再根据菱形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：
∴，
∴或，
；
【小问2详解】
解：设，则原方程化为：，
∴，
∴或，
当时， ，解得：，
当时， ，解得：，
∴原方程的解为：；
【小问3详解】
解：
∴，
∴或，
∵菱形的一条对角线长是，
∴菱形的一条对角线长的一半是，
∵菱形的边长是对角线所分直角三角形的斜边，
∴菱形的边长为，
∴菱形的另一条对角线长为：
∴菱形的面积．
故答案为：．
22. 综合与探究
（1）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分．
①求证：四边形是菱形；
②直接写出的度数．
（2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）且，见解析．
【解析】
【分析】（1）①由，推出，因为，推出四边形是平行四边形，再证明EB=ED即可．
②先证明，推出，延长即可解决问题．
（2）且，只要证明是等边三角形即可．
【小问1详解】
①证明：图1中，∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：且，理由如下：
如图2中，延长到M，使得，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
在和中，
．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
在中，
∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题．
23. 综合与探究
问题背景：
在数学课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知在中，，P为上的动点，小亮拿含角的透明三角尺，使角的顶点落在点P，三角尺可绕P点旋转．
猜想证明：
（1）如图a，当三角尺的两边分别交，于点E，F时，求证：；
（2）将三角尺绕点P旋转到图b情形时，三角尺的两边分别交的延长线，边于点E，F．与还相似吗？（只需写出结论）
深入探究：
（3）在（2）的条件下，连接，与是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，与相似？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不相似．当动点P运动到BC中点位置时，与相似，见解析．
【解析】
【分析】（1）找出与的对应角，其中，，得出，从而解决问题；
（2）利用（1）小题证明方法可证：；
（3）动点运动到中点位置时，与相似，同（1），可证，得 ，而CP=BP，因此 ，进而求出，与相似．
【详解】（1）证明：在中，
，
，
，
，
，
，
又，
，
（2）；
理由：∵在中，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）在（2）的条件下与不相似．当动点P运动到中点位置时，与相似，
证明：同（1），可得，
，
，
，
又，
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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