人教版八年级（上）期中数学试卷（三）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠B+∠C＝（ ）
A．115° B．130° C．135° D．150°
3．（3分）已知一个等腰三角形的两个内角的比值是2：5，则这个等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A．30° B．75°
C．30°或者75° D．30°或者100°
4．（3分）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE＝2，则AE的长是（ ）
A．4 B．4 C．3 D．2
6．（3分）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是 ．
8．（3分）若一个正n边形的一个内角与和它相邻的外角的度数之比是3：1，那么n＝ ．
9．（3分）三角形的三个内角中至少有 个锐角，三个外角中最多有 个锐角．
10．（3分）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线EF折叠，使点B落在点D的位置，若∠C＝70°，DF∥AC，则∠BFE的度数是 ．
11．（3分）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高．若AE＝2，CE＝1，则DE＝ ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）如图，已知D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝63°，∠ACD＝34°，∠ABE＝22°．
（1）∠BDC的度数；
（2）∠CFE的度数．
14．（6分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．有下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②△BDF≌△CDE；③BF∥CE；④CE＝AE．其中一定正确的是 （填序号），请选择一个你认为一定正确的进行证明．
15．（6分）如图，木棒BC固定在桌面上，木棒AB可绕连接点B转动，木棒DC可绕连接点C转动．用橡皮筋连接A，D两点．设橡皮筋AD的长是x．若AB＝5，CD＝3，BC＝11，求x的最大值和最小值．
16．（6分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（﹣3，1），C点的坐标是（﹣2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F；
（2）在y轴上存在一点P，使PA+PB的值最小，请在图中画出点P，并求出点P的坐标．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）解答下面两个小题：
（1）已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长．
（2）已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长．
19．（8分）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，点E在CD上（点E不与点D和点C重合），AG⊥BE于点G，交BD于点F，连接DG．
（1）求证：△ADF≌△BDE；
（2）若DF＝3，GE＝4，求GF的长；
（3）找出线段GF，GE，GD之间的数量关系．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图，点B在线段AC上，∠ABD＝∠ABE，BD＝BE．求证：CD＝CE．
22．（9分）如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
人教版八年级（上）期中数学试卷（三）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠B+∠C＝（ ）
A．115° B．130° C．135° D．150°
【思路点拔】先根据∠1+∠2＝130°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝130°，
∴∠AMN+∠DNM115°．
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，
∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝115°．
故选：A．
3．（3分）已知一个等腰三角形的两个内角的比值是2：5，则这个等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A．30° B．75°
C．30°或者75° D．30°或者100°
【思路点拔】本题应分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等可解．
【解答】解：解法一：（1）当顶角较小时，顶角度数是：°＝30°；
（2）当顶角较大时，顶角度数为：°；
解法二：（1）设顶角的度数是2x°，则有：2x+5x+5x＝180，解得：x＝15，
所以顶角度数是：2x＝30；（2）设顶角的度数是5x°，则有：5x+2x+2x＝180，
解得：x＝20，则有：顶角度数是：5x＝100，综上所述，故顶角的度数是30°或者100°．
故选：D．
4．（3分）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
【思路点拔】根据全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、条件AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合SAS，故A错误；
B、条件∠A＝∠D，∠C＝∠F，∠B＝∠E不符合AAS或ASA，故B错误；
C、条件AC＝DF，AB＝DE不符合SAS或SSS，故C错误；
D、条件∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF符合AAS的判定方法，故D正确．
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE＝2，则AE的长是（ ）
A．4 B．4 C．3 D．2
【思路点拔】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A＝30°，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而可得∠A＝∠ABE＝30°，进而可得∠EBC＝30°，然后在Rt△EBC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出BE的长，即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵ED是BA的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠ABE＝30°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∵CE＝2，
∴BE＝2CE＝4，
∴AE＝BE＝4，
故选：A．
6．（3分）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拔】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．
【解答】解：如图：
共3个，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是 （3，2） ．
【思路点拔】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是（3，2）．
8．（3分）若一个正n边形的一个内角与和它相邻的外角的度数之比是3：1，那么n＝ 8 ．
【思路点拔】一个内角是一个外角的3倍，内角与相邻的外角互补，因而外角是45度，内角是135度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：每一个外角的度数是180°÷（3+1）＝45°，
360÷45＝8，
则这个多边形是八边形，即n＝8．
故答案为：8．
9．（3分）三角形的三个内角中至少有 2 个锐角，三个外角中最多有 1 个锐角．
【思路点拔】根据三角形内角和为180度可知：在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角，而锐角三角形的三个内角都是锐角．在三角形的三个角中最多有一个钝角，因而外角中最多有一个锐角．
【解答】解：根据三角形内角和为180度可知：在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角，而锐角三角形的三个内角都是锐角．
又三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角．而三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角．
故答案为：2，1．
10．（3分）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线EF折叠，使点B落在点D的位置，若∠C＝70°，DF∥AC，则∠BFE的度数是 125° ．
【思路点拔】设点M在线段EF的延长线上，由折叠可知∠BFM＝∠DFM，由DF∥AC，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFC的度数，结合平角等于180°，可求出∠BFM的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠BFE的度数．
【解答】解：设点M在线段EF的延长线上，如图所示．
由折叠的性质，可知：∠BFM＝∠DFM．
∵DF∥AC，∠C＝70°，
∴∠DFC＝∠C＝70°，
∵∠BFM+∠DFM+∠DFC＝180°，
∴∠BFM（180°﹣∠DFC）（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BFM＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
11．（3分）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长 19cm ．
【思路点拔】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时；当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时，
∴它的周长＝8+8+3＝19（cm）；
当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时，
∵3+3＝6＜8，
∴不能组成三角形；
综上所述：它的周长为19cm，
故答案为：19cm．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高．若AE＝2，CE＝1，则DE＝ ．
【思路点拔】取AC中点M，连接ME，MD，由三角形中位线定理，推出∠MDE＝∠B，由直角三角形的性质得到MEAC，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质，推出DEAC，由勾股定理求出AC的长，即可得到DE的长．
【解答】解：取AC中点M，连接ME，MD，
∵D是BC中点，
∴MD是△ABC的中位线，
∴MD∥AB，
∴∠MDE＝∠B，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C＝2∠MDE，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC＝90°，
∴EMAC，
∴MC＝ME，
∴∠MEC＝∠C，
∴∠MEC＝2∠MDE，
∵∠MEC＝∠MDE+∠DME，
∴∠MDE＝∠DME，
∴DE＝ME，
∴DEAC，
∵AE＝2，CE＝1，
∴AC，
∴DE．
故答案为：．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）如图，已知D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝63°，∠ACD＝34°，∠ABE＝22°．
（1）∠BDC的度数；
（2）∠CFE的度数．
【思路点拔】（1）根据三角形外角性质得出∠BDC＝∠ACD+∠A，再代入求出答案即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠DFB＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE，求出∠DFB，再根据对顶角相等求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝63°，∠ACD＝34°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝34°+63°＝97°；
（2）由（1）得∠BDC＝97°，
∵∠ABE＝22°，
∴∠DFB＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣22°＝61°，
∴∠CFE＝∠DFB＝61°．
14．（6分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．有下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②△BDF≌△CDE；③BF∥CE；④CE＝AE．其中一定正确的是 ①②③ （填序号），请选择一个你认为一定正确的进行证明．
【思路点拔】由题意得BD＝CD，则①正确；再由SAS证明△BDF≌△CDE，则②正确；然后由全等三角形的性质得∠DBF＝∠DCE，则BF∥CE，③正确．
【解答】解：其中一定正确的是：①△ABD和△ACD面积相等；②△BDF≌△CDE；③BF∥CE；理由如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，①正确；
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），②正确；
∴∠DBF＝∠DCE，
∴BF∥CE，③正确；
故答案为：①②③．
15．（6分）如图，木棒BC固定在桌面上，木棒AB可绕连接点B转动，木棒DC可绕连接点C转动．用橡皮筋连接A，D两点．设橡皮筋AD的长是x．若AB＝5，CD＝3，BC＝11，求x的最大值和最小值．
【思路点拔】要求AD的最小值，即将AB绕顺时针方向旋转，使其与BC共线；将CD绕C点逆时针方向旋转，使其与BC共线．
【解答】解：
解得：3≤x≤19．
故x的最大值是19，最小值是3．
16．（6分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（﹣3，1），C点的坐标是（﹣2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F；
（2）在y轴上存在一点P，使PA+PB的值最小，请在图中画出点P，并求出点P的坐标．
【思路点拔】（1）根据轴对称的性质作出△DEF；
（2）根据轴对称——最短路径确定点P的位置，根据勾股定理求出最小值．
【解答】解：（1）△ABC关于y轴的对称图形△DEF，如图所示，E（3，1）；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点D，连接BD交y轴于点P，则PA+PB的值最小，最小值是BD的长，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
将B（﹣3，1）和D（1，0）代入得，
，
解得，
∴yx，
令x＝0，得y，
∴P（0，）．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠B＝∠C，根据余角的性质，得出∠E＝∠DFC，根据对顶角的性质，得出∠EFA＝∠E，即可得出答案；
（2）证明△AFG≌△CFD（AAS），得出DF＝FG＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝∠EDC＝90°，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，
∴∠E＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠E，
∴AE＝AF，
∴△AEF为等腰三角形；
（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，如图所示：
∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，
∴FG＝GEEF＝6，
∵F为AC中点，
∴AF＝FCACAB，
在△AFG与△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴DF＝FG＝6，
∴AH＝2DF＝12，
∴BH5，
∴BC＝2BH＝10，
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）解答下面两个小题：
（1）已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长．
（2）已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长．
【思路点拔】（1）分类讨论：底边为2，底边为6，根据三角形的周长公式，可得答案；
（2）已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论解答．
【解答】解：（1）①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是2，2，6，
∵2+2＜6，构不成三角形，故舍；
②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是6，6，2，
∵2+6＞6，
∴可构成三角形，
∴三角形的周长＝6+6+2＝14．
故这个等腰三角形的周长是14；
（2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，
∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形；
当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形．
故另两边是3.5、3.5或5、2．
19．（8分）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE＝30°，BE＝AE，等腰三角形的判定和性质；
（2）如图1，E在线段AB上时，由（1）知，BD＝AE＝1，则CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，过E作AC的平行线与BC交于点H，构造等边△BEH，通过证得△EBD≌△EHC，得到BD＝HC＝AE＝1，从而求得CD．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，点E在CD上（点E不与点D和点C重合），AG⊥BE于点G，交BD于点F，连接DG．
（1）求证：△ADF≌△BDE；
（2）若DF＝3，GE＝4，求GF的长；
（3）找出线段GF，GE，GD之间的数量关系．
【思路点拔】（1）先证△ADB是等腰直角三角形，AD＝BD，再由ASA即可证得△ADF≌△BDE；
（2）连接EF，先证△EDF是等腰直角三角形，得EF＝3，再在Rt△EGF中，由勾股定理即可得出结果；
（3）过点D作DH⊥DG交BE的延长线于点H，证△FDG≌△EDH（ASA），得DH＝DG，GF＝EH，则△DHG是等腰直角三角形，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴∠ADF＝∠BDE＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵AF⊥BE，
∴∠BFG+∠FBG＝90°，
∵∠AFD＝∠BFG，
∴∠DAF＝∠DBE，
在△ADF和△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA）；
（2）解：连接EF，如图1所示：
由（1）得：∠FDE＝∠FGE＝90°，△ADF≌△BDE，
∴DE＝DF，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EFDF＝3，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：GF；
（3）解：GF，GE，GD之间的数量关系为：GF+GEGD，理由如下：
过点D作DH⊥DG交BE的延长线于点H，如图2所示：
则∠GDE+∠EDH＝90°，
∵∠GDE+∠FDG＝90°，
∴∠FDG＝∠EDH，
∵△ADF≌△BDE，
∴∠AFD＝∠BED，DF＝DE，
∴∠DFG＝∠DEH，在△FDG和△EDH中，
，
∴△FDG≌△EDH（ASA），
∴DH＝DG，GF＝EH，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴EH+GEGD，
∴GF+GEGD．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图，点B在线段AC上，∠ABD＝∠ABE，BD＝BE．求证：CD＝CE．
【思路点拔】根据SAS证明△DBC≌△EBC即可得结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠ABE，
∴∠DBC＝∠EBC．
在△DBC和△EBC中，
，
∴△DBC≌△EBC（SAS），
∴CD＝CE．
22．（9分）如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．
【思路点拔】根据SAS证明△OMC≌△ONC，可得MC＝NC，根据角平分线的性质，得CD＝CE，则△DMC≌△ENC．
【解答】证明：∵OC平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠EOC，
在△OMC和△ONC中，
∵OM＝ON，∠DOC＝∠EOC，OC＝OC
∴△OMC≌△ONC（SAS），
∴MC＝NC，
∵OC平分∠AOC，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE，
在Rt△DMC和Rt△ENC中
∵DC＝CE，CM＝CN，
∴Rt△DMC≌Rt△ENC（HL）．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【思路点拔】利用等腰三角形的性质得到AB＝8，利用三角形全等的判定方法，当CQ＝BP，CP＝BD时，△CQP≌△BPD，所以at＝2t，6﹣2t＝4；当CQ＝BD，CP＝BP时，△CQP≌△BDP，所以at＝4，6﹣2t＝2t，然后分别解方程求出对应的a的值即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝8，
∴当CQ＝BP，CP＝BD时，△CQP≌△BPD，
即at＝2t，6﹣2t＝4，解得t＝1，a＝2，
当CQ＝BD，CP＝BP时，△CQP≌△BDP，
即at＝4，6﹣2t＝2t，解得t，a，
所以a为厘米/秒或2厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．
