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第24章 圆
一、圆的相关定义
1．在中，最长的弦是，则的半径为
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是
A．长度相等的弧叫做等弧 B．半圆不是弧
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
1．已知的半径是，则中最长弦长是
A． B． C． D．
2．下列说法正确的有
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
二、垂径定理
1．如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 ．
3．高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此横截面所在圆的半径 米．
4．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．
（1）求这座石拱桥主桥拱的半径；
（2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．
1．如图，于，若的直径为，，则长为
A． B． C． D．
2．如图，是的半径，弦于点，连接，若的半径为，的长为，则的长是 ．
3．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 _____ ．
4．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
三、弧、弦、圆心角及圆周角
1．如图，圆的半径是4，是弦，且是弧的中点，则弦的长为
A． B． C．4 D．6
2．如图，是的直径，，，是的弦且，则等于
A． B． C． D．
3．如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
4．如图，、、是上的三点，则，则 度．
5．如图，是直径，，，的度数是 ．
6．如图，的弦、相交于点，且．求证：．
7．已知，△中，，以为直径的与，的交点分别为，
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，当时，求的大小．
1．如图，在中，，劣弧的度数是
A． B． C． D．
2．如图，顶点、、均在上，，则为
A． B． C． D．
3．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，、是的三等分点，，则 ．
5．如图，，是的半径，点在上，连接，，若，，则的度数为 ．
6．如图，的弦、相交于点，且．求证．
7．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：点是的中点；
（2）若，求的度数．
四、点和圆、直线和圆的位置关系
1．若的半径为，点不在内，则的长
A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于
2．如图，在△中，，，，是△的内切圆，则的半径为
A．1 B． C．2 D．
3．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是 ．
4．如图，、分别与圆相切于、两点，点为圆上一点，连接、，若，则的度数为 ．
5．如图，△内接于．
（1）若，的半径是，求的长；
（2）过点作的切线，求证：．
1．已知的半径是5，，则点与的位置关系是
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
2．如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则的度数为
A． B． C． D．
3．直角坐标平面内，点，点的坐标为，的半径为4．若点在内，则的范围是 ．
4．如图，，分别切于点，，切于点，分别交，于点，，若，则△的周长是 ．
5．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
五、正多边形和圆
1．如图，正六边形内接于，，则的长为
A．2 B． C．1 D．
2．如图，是半径为2的正八边形的外接圆，则下列结论：①的度数为；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
3．如图，正六边形内接于，半径为4．
（1）求正六边形的边心距；
（2）求正六边形的面积．
1．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则
A． B． C． D．
2．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）
3．如图，正六边形内接于．
（1）若是上的动点，连接，，求的度数；
（2）已知的面积为，求的面积．
六、弧长和扇形面积
1．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为
A． B． C． D．
2．若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为
A． B． C． D．
3．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
4．如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ．
5．半径为4的圆中，圆心角为的扇形面积为 ．
6．如图，在扇形中，，，则的长为
7．如图，为的直径，是上的一点，连接，，若，，求的长．（结果保留
8．如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
1．一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，是弦，，，，则的长为
A． B． C． D．
3．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为
A． B． C． D．
4．一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为 ．
5．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求劣弧的长．
6．如图，在△中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求；
（1）求弧的长；
（2）求阴影部分的面积．
七、圆的综合题
1．如图，点是△的内心，的延长线交于点，交△的外接圆点．过作直线．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径．
2．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若，的半径为2，求阴影部分面积．
1．如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）条件下，求阴影部分的面积．
2．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点．
（1）求证：是的中点；
（2）若，则两个同心圆组成的圆环面积为 ；
（3）若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第24章 圆
一、圆的相关定义
1．在中，最长的弦是，则的半径为
A． B． C． D．
【分析】用圆的直径为圆中最长的弦求解即可．
【解答】解：在中，最长的弦是，
的直径为，
的半径为．
故选：．
2．下列说法正确的是
A．长度相等的弧叫做等弧 B．半圆不是弧
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
【分析】利用等弧的定义、直径的定义、弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；
、半圆是弧，故错误，不符合题意；
、过圆心的弦是直径，故错误，不符合题意；
、直径是弦，正确，符合题意，
故选：．
1．已知的半径是，则中最长弦长是
A． B． C． D．
【分析】根据圆的直径的定义求解．
【解答】解：的半径是，
中最长弦长是．
故选：．
2．下列说法正确的有
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
【分析】根据直径的定义对、选项进行判断；根据等弧的定义对选项进行判断；根据弧的分类对选项进行判断．
【解答】解：．经过圆心的弦是直径，所以选项不符合题意；
．直径是同一个圆中最长的弦，所以选项符合题意；
．能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以选项不符合题意；
．弧分为半圆、优弧和劣弧，所以选项不符合题意．
故选：．
二、垂径定理
1．如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出即可作答．
【解答】解：连接，
设的半径为，则，
，过圆心，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径长是5，
故选：．
2．如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 ．
【分析】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，根据圆周角定理得到，由三角形中位线定理得到，然后在中由勾股定理可求出．
【解答】解：连接，如图所示：
，，
，
设的半径，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
；
，，
，
是直径，
，
是的中位线，
，
在中，，
故答案为：．
3．高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此横截面所在圆的半径 米．
【分析】设圆的半径米，则米，根据已知条件及垂径定理得米，米，然后在△中，由勾股定理构造关于的方程，进而解方程求出即可．
【解答】解：设圆的半径米，则米，
米，米，，
米，米，
在△中，由勾股定理得：，
，
解得：，
此横截面所在圆的半径米．
故答案为：．
4．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．
（1）求这座石拱桥主桥拱的半径；
（2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．
【分析】（1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，则，根据勾股定理即可求出半径；
（2）设的中点为，过点作的垂线交于，连接，再求出，然后比较与矩形船的宽度即可得出答案．
【解答】（1）解：，
，，
设主桥拱半径为，则，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
解得：，
这座石拱桥主桥拱的半径为．
（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，
设的中点为，过点作的垂线交于，连接，
，
，
由（1）可知：，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
此渔船不能顺利通过这座桥．
1．如图，于，若的直径为，，则长为
A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，据此即可得解．
【解答】解：连接，如图所示，
的直径为，
，
于，
，
在中，，
，
，
故选：．
2．如图，是的半径，弦于点，连接，若的半径为，的长为，则的长是 ．
【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得，再进一步可得答案．
【解答】解：是的半径，弦于点，
，
，
；
故答案为：2．
3．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 _____ ．
【分析】利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
【解答】解：，，
，
设 ，则，
在△中，得：，
即，
解得：，
即桥拱所在圆的半径是．
故答案为：10．
4．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【分析】根据垂径定理，勾股定理列方程求解即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理求出，进而计算出即可．
【解答】解：（1）如图，过点作，垂足为点，交以点，由题意可知，，，
，，
，
设圆的半径为 ，即 ，，
在中，
，即，
解得，
即该圆的半径为；
（2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点，
，
，
连接，在中，，，
，
，
即水面上涨的高度为 1 米．
三、弧、弦、圆心角及圆周角
1．如图，圆的半径是4，是弦，且是弧的中点，则弦的长为
A． B． C．4 D．6
【分析】连接，，，根据圆周角定理得，根据，得，再根据等边三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，连接，，，
，
，
是弧的中点，
，
，
，
是等边三角形，
．
故选：．
2．如图，是的直径，，，是的弦且，则等于
A． B． C． D．
【分析】由已知可得，弦、、三等分半圆，从而不难求得的度数．
【解答】解：连接、，
，
，
弦、、三等分半圆，
弦和和对的圆心角均为，
．
故选：．
3．如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
4．如图，、、是上的三点，则，则 度．
【分析】根据圆周角定理即可直接得出答案．
【解答】解：弧弧，
，
故答案为：39．
5．如图，是直径，，，的度数是 ．
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案．
【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
6．如图，的弦、相交于点，且．求证：．
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【解答】证明：如图，连接．
，
．
．
．
．
．
7．已知，△中，，以为直径的与，的交点分别为，
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，当时，求的大小．
【分析】（Ⅰ）利用圆内接四边形的性质证明即可；
（Ⅱ）连接．在△中，求出即可解决问题；
【解答】解：（Ⅰ）四边形 圆内接四边形，
，
，
，
，
．
（Ⅱ）连接．
，
，
是直径，
，
，
1．如图，在中，，劣弧的度数是
A． B． C． D．
【分析】连接，求出，可得结论．
【解答】解：连接．
，
，
，
的度数为．
故选：．
2．如图，顶点、、均在上，，则为
A． B． C． D．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【解答】解：由圆周角定理可知：，
，
，
解得，
故选：．
3．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是
A． B． C． D．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
故选：．
4．如图，是的直径，、是的三等分点，，则 ．
【分析】根据邻补角的概念求出，根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【解答】解：，
、是的三等分点，
，
，
故答案为：．
5．如图，，是的半径，点在上，连接，，若，，则的度数为 ．
【分析】根据圆周角定理得到，由三角形的内角和得到，代入数据即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
6．如图，的弦、相交于点，且．求证．
【分析】连接，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解答】证明：连接．
，
，即，
，
．
7．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：点是的中点；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明是的中点；
（2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出．
【解答】（1）证明：连接，
是圆的直径，
，
，
是的中点；
（2）解：
，
，
．
四、点和圆、直线和圆的位置关系
1．若的半径为，点不在内，则的长
A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于
【分析】设点到圆心的距离为，圆的半径为，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【解答】解：点不在圆内，则点到圆心的距离大于或等于圆的半径，即或的长不小于．
故选：．
2．如图，在△中，，，，是△的内切圆，则的半径为
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理可求得，设△三边内切于点、、，连接、、，可得，，，且，由，列出方程即可求出△的内切圆的半径的值．
【解答】解：如图，，，，
，
设△三边内切于点、、，连接、、，
，，，且，
连接、、，
，
即，
，
解得．
△的内切圆的半径为1．
故选：．
3．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是 ．
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：点在上，
故答案为：点在上．
4．如图，、分别与圆相切于、两点，点为圆上一点，连接、，若，则的度数为 ．
【分析】连接，，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可．
【解答】解：连接，，
、分别与圆相切于、两点，
，
，
；
故答案为：．
5．如图，△内接于．
（1）若，的半径是，求的长；
（2）过点作的切线，求证：．
【分析】（1）如图1，连接，，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；
（2）如图1，连接，，由过点作的切线，可得，则，同理（1），由，可得，则．
【解答】（1）解：如图，连接，，则，
，
，
，
的长为；
（2）证明：过点作的切线，
，则，
同理（1），
，
，
，
．
1．已知的半径是5，，则点与的位置关系是
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
【分析】若点与圆心的距离，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可．
【解答】解：半径是5，，
，
点与的位置关系是点在圆外，
故选：．
2．如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接，，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数．
【解答】解：连接，，
，分别与相切于，两点，
，
，
，
故选：．
3．直角坐标平面内，点，点的坐标为，的半径为4．若点在内，则的范围是 ．
【分析】由题意知，，由点在内，可得，然后求解即可．
【解答】解：点，点的坐标为，
，
的半径为4．点在内，
，
解得，，
故答案为：．
4．如图，，分别切于点，，切于点，分别交，于点，，若，则△的周长是 ．
【分析】根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解．
【解答】解：切于点，
，，
△的周长
．
故答案为：．
5．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
【分析】（1）由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平方，从而可得，进而可证△△，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设的半径为，在△中，利用勾股定理求出的长，再利用（1）的结论可得，最后在△中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
为的半径，
直线是的切线；
（2）解：设的半径为，
，
，
，
，
，
由（1）得△△，
，
，
，
解得．
五、正多边形和圆
1．如图，正六边形内接于，，则的长为
A．2 B． C．1 D．
【分析】由正六边形内接于，求得，则是等边三角形，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
故选：．
2．如图，是半径为2的正八边形的外接圆，则下列结论：①的度数为；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
【分析】根据正八边形的性质，得到，进而得到的长，求出正八边形的面积和边长，即可得到结果．
【解答】解：连接，，，
正八边形的外接圆半径是2，
，，
，
的度数是，
故①正确；
△中，，
故②正确；
正八边形，
，平分，
，
正八边形的面积为：，
故④正确；
，
，
△中，，
，
，
，
，
故③不正确，
故答案为：①②④．
3．如图，正六边形内接于，半径为4．
（1）求正六边形的边心距；
（2）求正六边形的面积．
【分析】（1）连接、，过点作于，证明等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）根据正六边形的面积即可求解．
【解答】解：（1）连接、，过点作于，则，
六边形是正六边形，
，
，为等边三角形，
，，
圆心到的距离，
即正六边形的边心距为；
（2）正六边形的面积．
1．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则
A． B． C． D．
【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，，
是正五边形，
，
，
故选：．
2．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）
【分析】连接、，作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解．
【解答】解：连接、，作于，如图：
六边形是正六边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的估计值为，
故答案为：．
3．如图，正六边形内接于．
（1）若是上的动点，连接，，求的度数；
（2）已知的面积为，求的面积．
【分析】（1）在弧取一点，连接、、、，利用弦和圆周角的关系即可求出的值；
（2）①证明是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出，，再根据的面积为，求出半径即可求出．
【解答】解：（1）如图所示，在弧取一点，连接、、、，
六边形是正六边形，
，，
，
，
，
；
（2），，
是等边三角形，
；
，，
，
，即的半径为2，
的面积．
六、弧长和扇形面积
1．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为
A． B． C． D．
【分析】依据题意，根据弧长公式进行代入计算即可得解．
【解答】解：由题意，弧长，且，
．
故选：．
2．若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为
A． B． C． D．
【分析】弧长是弧所对应的圆心角度数），代入计算即可．
【解答】解：．
故选：．
3．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【分析】利用扇形面积公式，根据即可求解．
【解答】解：
，
故选：．
4．如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ．
【分析】设扇形所在圆的半径为，根据题意，得，解得，（舍去），根据弧长公式，得．
【解答】解：设扇形所在圆的半径为，
扇形的圆心角为，面积是，
，
（负值已舍去），
这个扇形的弧长．
故答案为：．
5．半径为4的圆中，圆心角为的扇形面积为 ．
【分析】根据扇形面积计算公式直接计算即可求解．
【解答】解：由题意得，，，
扇形的面积，
故答案为：．
6．如图，在扇形中，，，则的长为
【分析】利用弧长公式计算即可求解．
【解答】解：的长为．
故答案为：．
7．如图，为的直径，是上的一点，连接，，若，，求的长．（结果保留
【分析】根据的度数，求出的度数，再利用弧长的计算公式即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
的长为：．
8．如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可；
（2）求出两个扇形面积的差即可．
【解答】解：（1）长度；
（2），，
．
，
，
贴纸部分的面积．
1．一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为
A． B． C． D．
【分析】根据弧长公式，其中为圆心角，为半径，代入数值即可求解．
【解答】解：根据题意得到，
解得，
即扇形的圆心角度数为．
故选：．
2．如图，是的直径，是弦，，，，则的长为
A． B． C． D．
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据圆周角定理得出，然后根据弧长的计算公式即可得．
【解答】解：如图，连接，
则，
，，
，
，
则的长为，
故选：．
3．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为
A． B． C． D．
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：，夹角为，，，
，
，，
．
故选：．
4．一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为 ．
【分析】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积也可以．
【解答】解：设扇形圆心角度数为，则，
解得，
扇形的面积为，
故答案为：．
5．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求劣弧的长．
【分析】（1）如图，连接，利用圆周角定理推知是等腰的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论；
（2）如图，连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行解答．
【解答】（1）证明：如图，连接．
是圆的直径，
，
即．
又，
是边上的中线，
；
（2）解：，
．
又，，
，
的长为：．
6．如图，在△中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求；
（1）求弧的长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长；
（2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积△的面积”计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
弧的长是．
（2）
，
阴影部分的面积是．
七、圆的综合题
1．如图，点是△的内心，的延长线交于点，交△的外接圆点．过作直线．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径．
【分析】（1）连接交于，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；
（2）连接，由点是△的内心，得到，，推出，根据等角对等边得到；
（3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：连接交于，如图，
点是△的内心，
平分，
即，
，
，，
，
，
是的切线；
（2）证明：点是△的内心，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：设的半径为，
连接，，如图，
由（1）得，，
，
，
，，
，
在△中，，
，解得：，
在△中，
，解得：．
的半径为5．
2．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若，的半径为2，求阴影部分面积．
【分析】（1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可；
（2）由勾股定理可得出答案．
（3）先利用等腰三角形的性质与角平分线，三角形内角和定理，求出，从而求得，即可由扇形面积公式得，再由直角三角形的性质与勾股定理求出，从而求得，即可由求解．
【解答】（1）证明：连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，是的切线，
设，
，
，
解得，
，
即圆的半径为3．
（3）解：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，是的切线，
，
，
，
，
，
．
1．如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）条件下，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接，，证点是的中点，由三角形中位线定理证，可推出，即可得到结论；
（2）连接，证明，可得结论；
（3）连接，，．证明是的中位线，是等边三角形，可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接，
是直径，
，即，
又，
，
又，
，
又，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：在中，，
，
，
，
在中，
设，则，由勾股定理得，
，
，
，
（3）解：连接，，．
，，
是等边三角形，
是直径，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
中，，，
．
2．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点．
（1）求证：是的中点；
（2）若，则两个同心圆组成的圆环面积为 ；
（3）若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用垂径定理即可求证；
（2）利用勾股定理和圆环的面积即大圆面积减去小圆面积即可求解；
（3）先构造全等三角形证明平分，再作垂直证明半径即可求证．
【解答】（1）证明：如图1，连接，
是小圆的切线，
，
平分，即是的中点；
（2）解：如图2，连接、，
平分，，
，
，
圆环的面积为，
故答案为：；
（3）解：与小圆相切，理由如下：
如图3，以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接、、、，过点作于，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，，
，
与小圆相切．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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