八年级上学期10月月考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班开展了以迎年北京冬奥为主题的海报评比活动．下列海报设计中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积( )
A. B. C. D.
3.根据下列已知条件，不能画出唯一的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.如图，用直尺和圆规作一个角，等于已知角，能得出的依据是( )
A. B. C. D.
5.若点，关于轴对称，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是( )
A. B. C. D.
8.若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变
9.已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，已知是线段上的任意一点端点除外，分别以、为斜边并且在的同一侧作等边和等边，连接交于点，连接交于点，给出以下五个结论：；；；；其中正确的有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，，，请添加一个条件 ，使．
12.如图，，，垂足分别为，，是线段的中点，，若，，则的面积是______．
13.若点与点关于轴对称，则的值是 ．
14.如图，在中，的垂直平分线交于点，连接若，，，则的周长等于______．
15.中，平分，平分连接，，，，则：：_________．
16.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为___
17.若分式的值为，则的值为________．
18.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.（本小题9分）计算
20.本小题分
如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．
21.本小题分
如图，是的边上的高，点为上一点，且，．
试说明
若，，求的面积．
22.本小题分
如图，在等边中，点、分别在边、上，且，与交于点．
求证：；
求的度数．
23.本小题分
请同学们仅用无刻度的直尺，在正方形网格纸中完成下列几个小题：
在图中，点、、在小正方形的顶点上，请画出与关于直线成轴对称的；
在图中画出线段的垂直平分线；
在图的格点中找一点，使得是以为腰的等腰三角形，这样的点有______个
24.本小题分
已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，．
【特殊情况，探索结论】
如图，当点为的中点时，确定线段与的大小关系：______填“”“”或“”．
【特例启发，解答题目】
如图，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由提示：过点作，交于点．
【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长请根据题意画出相应图形，并直接写出结果．
25.本小题分
如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．
如图，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
如图，将“，”为改“”，其他条件不变，若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等．
在图的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图，若点以中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 答案不唯一
12.
13.
14.
15. ：：．
16. 或
17.
18.
19. 解：原式；
原式
；
原式
，
20. 证明：，
在与中，
≌，
，，
．
21. 【小题】
证明：因为为的边上的高，
所以，
所以．
在和中，
所以，
所以．
【小题】
因为，，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
22. 【解答】证明：是等边三角形，
，．
又，
≌
；
≌，
，
．
23. 解：如图，
如图所示；
如图所示，这样的点有个；
故答案为：．
24. 解：
，理由如下：
过点作，交于点，
则，，，
是等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
过点作，交的延长线于点，如图所示：
同得：是等边三角形，≌，
，，
，
．
25. 【小题】
全等，理由如下：
当时，，，
又，
在与中，
，
，
，
，
线段与线段垂直．
【小题】
设点的运动速度，
若，则，，
解得
由于此时点的运动速度与点的运动速度相等，不合题意，故舍去此种情况；
若，则，，
解得
综上所述，当点的运动速度为时，能使与全等．
【小题】
，分别是，中点，，
，
以中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，设运动时间为秒，
列方程：，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
