第一学期期中学情抽测
初四数学样题
（时间：120分钟，满分：150分）
总分：___________ 等级：___________
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置）
1.下列函数不是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.在中，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.已知抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
4.在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，则的值是（ ）
A. B. C. D.2
6.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在等腰，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象位于第一、三象限
B.当时，
C.该函数图象经过点
D.函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形
9.关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A.对称轴是直线 B.最大值
C.与x轴只有一个交点 D.当时，随的增大而增大
10.如图，二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、…，分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…，连接、、…，过点、、…分别向、、…作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）
A. B. C. D.
12.如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线.则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程
无实数根，则.正确的有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.只要求填写最后结果）
13.老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________.
14.二次函数的顶点坐标是________.
15.如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为__________.
16.如图，在距离铁轨240米的处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是________米.（结果保留根号）
17.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是________.
18.已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且.下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根.其中正确的是________（填写序号）.
三、解答题（本大题共7个小题，满分78分.解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
19.计算（每小题4分，共8分）
（1）；
（2）.
20.（本题10分）
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点.
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接，，求的面积.
21.（本题10分）
已知二次函数的图象经过点，.
（1）求，的值；
（2）求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离.
22.（本题10分）
某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.2米.道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行.
图1 图
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.2米，求点到的距离的长.
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米.当道闸打开至时，轿车能否驶入小区 请说明理由.（参考数据：，，）
23.（本题12分）
某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表：
（元） 20 25 30 …
（袋） 20 15 10 …
若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元 每日销售的最大利润是多少元
24.（本题13分）
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”.例如，点是函数图象的“近轴点”.
（1）下列三个函数：①；②；③.其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数；
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围.
25.（本题15分）
如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，将直线绕点逆时针旋转90°，所得直线与轴交于点.
图① 图②
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，
①当点到直线的距离最大时，求出最大距离；
②当点到直线的距离为时，求的值.
第一学期期中学情抽测
初四数学试题参考答案及评分标准
一、选择（每小题4分，共48分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D A B D D C A C B
二、填空（每小题4分共24分）
13.；14.；15. 20；16.；17.丙；18.①②③④
三、解答题（本大题共7个小题，满分78分）
19.解：（1）原式 2分
4分
（2）原式 6分
8分
20.解：（1）解：将代入得，
，， 2分
将代入得，
，. 4分
（2）由图象可知当时，的取值范围为或， 6分
（3）将，分别代入
得，，， 8分
令，则，解得：；
. 10分
21.解：（1）将，代入，
得， 2分
解得：， 4分
（2）二次函数，
顶点坐标为，对称轴是直线，图象如图所示； 7分
（3）把代入
得， 8分
点向下平移10个单位得到点，
所以需将抛物线向下平移10个单位. 10分
22.解：（1）如图，过点作，垂足为，由题意可知，
，米，米， 1分
在中，，米，
（米），（米）， 3分
图2
（2）当，米时，则，
（米）， 5分
（米）， 7分
（米）， 9分
，能通过. 10分
23.解：（1）设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为，
由题意得， 2分
解得.
所求函数关系式为： 5分
（2）依题意，设利润为元，得
8分
整理得 10分
当时，取得最大值，最大值为225
每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元. 12分
24.解：（1）①中，时，，
是函的“近轴点”； 2分
②，由对称性，当时，，
函数不存在“近轴点”； 4分
③，
时，，是的“近轴点”；
上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是①③ 6分
（2）中，
时，，图象恒过点， 8分
当直线过时，，；； 11分
当直线过时，，，；
的取值范围为或. 13分
25.解：（1）当时，，则点的坐标为， 1分
当时，，解得，，，
则点的坐标为，点的坐标为， 2分
，，
∵将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，
，，，
，点的坐标为， 4分
设直线的函数关系式为，
，得，
即直线的函数关系式为； 7分
（2）作轴交直线于点，如图①所示，设点的坐，则点的坐标为，
图①
9分
∴轴，∴轴，，
作于点，则，
，
即当点到直线的距离最大时，最大距离是； 11分
②当点到直线的距离时，如图②所示，
图②
则，
解得，，， 13分
则的坐标为，的坐标，
当则的坐标为，
则，
； 14分
当的坐标为，则，
；由上可得，的值是或. 15分
