2024年高三10月联考卷
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．1或
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置无关
D．的最小值为
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为直角三角形
C．若，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
11．已知数列的首项为，且，数列、数列数列的前项和分别为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
12．已知，，且，则的最小值是 ．
13．已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是 ．
14．设函数给出下列四个结论：
①当时，函数在上单调递减；
②若函数有且仅有两个零点，则；
③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为；
④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知等比数列的前项和为，，数列满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求的前项和．
16．（15分）如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点，，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)如果，，求二面角的余弦值.
17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲 乙 丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲 乙 丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六 日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：.
18．（17分）已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于点，且当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的左焦点为，若过三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的斜率.
19. 对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．
（1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；
（2）设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；
（3）设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值．
数学参考答案
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】ACD
10．【答案】BD
11．【答案】BCD
12．【答案】/．
13．【答案】
14．【答案】②③④
15．【解】（1）由题意知，，即，
解得，所以；
由，
得，
两式相减，得，
所以，
当时，满足上式，
故.
（2）由（1）知，，，所以，
，
，
两式加减，
得，
所以.
16．【解】（1）因为，，分别是侧棱，，的中点，
所以，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
因为，所以，
所以，
因为平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以两两垂直，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
故，
所以二面角的余弦值.
17．【解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率
.
（2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心，
则，
由全概率公式得.
故丁周日选择健身中心健身的概率为.
（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则，
设抽取次数为，则的分布列为
1 2 3
故，
又，
两式相减得，
所以
，
所以在时单调递增，
可知当时，；
当时，；
当时，.
若抽取次数的期望值不超过23，则的最大值为30.
18．【解】（1）椭圆的方程为，
当轴时，，所以点在椭圆上，
依题意，解得，，，
椭圆的方程为；
（2）设圆心,,,,,,
显然直线的斜率存在，设，
由，则，
又，代入得到：，
同理可得，
则分别是的两根，
由韦达定理可得，
又联立与，
得，
，
所以
故解得，
直线的斜率为，
19.【解】
（1）
，
是的"下位序列"；
（2）是的“下位序列”，
，
，，，均为正数，
故，
即，
，
同理，
综上所述：；
（3）由已知得，
因为为整数，
故，
，
，
该式对集合内的每一个 的每个正整数都成立，
，
所以正整数的最小值为.
