南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）
数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）
A.4 B.1 C.3 D.2
4.“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若实数m满足，则曲线与曲线的（ ）
A.离心率相等 B.焦距相等
C.实轴长相等 D.虚轴长相等
6.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
7.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）
A. B.4 C.6 D.
8.已知椭圆的左 右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B.若，则直线的倾斜角为
C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D.直线的纵截距为
10.已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.点的坐标为
C.直线与抛物线相切 D.
11.已知正方体棱长为4，点是底面正方形内及边界上的动点，点是棱上的动点（包括点），已知为中点，则下列结论正确的是（ ）
A.无论在何位置，为异面直线
B.若是棱中点，则点的轨迹长度为
C.存在唯一的位置，使平面
D.AP与平面所成角的正弦最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.两条平行直线与之间的距离是__________.
13.若圆与圆相内切，则__________.
14.已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）分别求出适合下列条件的方程：
（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程.
16.（15分）记的内角的对边分别为，且.
（1）求角A；
（2）若的面积为，求的周长.
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）已知椭圆的左 右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.
19.（17分）已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
（1）若离心率时，求的值；
（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；
（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围.
南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A A B C D A BCD AC ABD
12.
13.
14.
15.（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，
故，
故抛物线标准方程为.
（2）设圆C方程：，
由已知，
解得，
圆C方程为.
16.（1）因为，所以.
根据正弦定理，得，
因为，
所以.
又，所以
（2）在中，由已知，
因为
由余弦定理可得，
即，
即，又，所以.
所以的周长周长为
17.（1）证明：是等边三角形，是的中点，，
又平面平面，
又平面平面平面.
由（1）得平面，连接，建立以为原点，以所在直线
分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，
如图所示，底面是边长为4的正方形，
则，
，
则，设平面的法向量为，
则取，则平面的法向量为，
又平面的法向量为，
平面与平面的夹角的余弦值为
.
18.（1）根据题意，.
在椭圆上顶点，此时
.
所以，
则求椭圆的方程.
（2）如图所示，设，
联立直线与椭圆的方程得，
.
，
又
，
因为点到直线的距离，且，
所以.
综上，的面积为定值.
19.（1）由题意得，则.
（2）当时，双曲线，其中，
因为为等腰三角形，则
①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；...
②当以为底时，，
设，则，联立解得或或，
因为点在第一象限，显然
以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；
③当以为底时，，设，其中，
则有，解得，即.综上所述：.
（3）由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，
则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，
根据双曲线对称性知，联立有，
显然二次项系数，其中，
①②，
则，因为在直线上，
则，即，即
，
将①②代入有
即，化简得
所以，代入到，得，所以，
且，解得，又因为，则，
综上知，.
