第21-23章阶段检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 香洲区期中）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024秋 海珠区校级月考）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+4x﹣2＝0 B．3x﹣4＝0
C． D．x2﹣2xy﹣4＝0
3．（2024秋 澧县月考）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝m+1 B．（x+1）2＝m﹣1
C．（x+1）2＝1﹣m D．（1﹣x）2＝m﹣1
4．（2024秋 裕华区校级月考）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（ ）
A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m
5．（2024秋 锡山区校级月考）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C． D．
6．（2024 东莞市校级一模）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2024秋 晋源区月考）如图，将线段AB绕它的中点O逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段A′B′，A，B的对应点分别是点A′，B′，依次连接AA′，A′B，BB′，B′A．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠AA′B＝90°
B．对于任意α，四边形AA′BB′都是矩形
C．AB＝2BB′
D．当α＝90°时，四边形AA′BB′是正方形
8．（2024秋 西山区校级月考）关于函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小值为0
B．图象与y的交点为（0，1）
C．图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1
D．图象与x轴没有交点
9．（2024 宁河区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024秋 嘉祥县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③5a+2b﹣3c＜0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．⑤4a+2b＞am2+bm其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题）
11．（2024秋 玄武区校级月考）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为 ．
12．（2024 游仙区模拟）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 ．
13．（2024 雨花区校级二模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2024﹣a+b的值是 ．
14．（2024 绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ ，
15．（2024秋 德州月考）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*（2x+1）＝﹣1，则它的根为 ．
16．（2024秋 金乡县月考）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 ．
17．（2024秋 道里区校级月考）如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为 米．
18．（2024秋 姑苏区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0．
其中正确的是 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2024春 凉州区期末）解方程：
（1）（x+2）2﹣25＝0；
（2）x2﹣4x﹣3＝0．
20．（2024秋 澧县月考）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若，x1和x2是原方程的两个实数根，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值．
21．（2024秋 东台市月考）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元．
（1）每天的销售量为 瓶，每瓶洗手液的利润是 元．（用含x的代数式表示）；
（2）若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？
22．（2024秋 西湖区校级月考）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）以点C为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；
（2）在（1）的基础上，求线段AB和线段A′B′夹角的度数．
23．（2024 北京）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E．
（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；
（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．
24．（2024秋 新城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B′．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）试探究直线AB′是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
25．（2024秋 姑苏区校级月考）如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B．
（1）连结BC，求直线BC的解析式；
（2）点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标及△BCP面积的最大值．
26．（2024秋 海珠区校级月考）某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的函数图象是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
（1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
第21-23章阶段检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 香洲区期中）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（2024秋 海珠区校级月考）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+4x﹣2＝0 B．3x﹣4＝0
C． D．x2﹣2xy﹣4＝0
【解答】解：A．方程3x2+4x﹣2＝0是一元二次方程，选项A符合题意；
B．∵方程3x﹣4＝0的未知数的最高次数是1，
∴方程3x﹣4＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C．∵方程5x2﹣﹣1＝0不是整式方程，
∴方程5x2﹣﹣1＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D．∵方程x2﹣2xy﹣4＝0含有两个未知数，
∴方程x2﹣2xy﹣4＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
3．（2024秋 澧县月考）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝m+1 B．（x+1）2＝m﹣1
C．（x+1）2＝1﹣m D．（1﹣x）2＝m﹣1
【解答】解：∵x2﹣2x﹣m＝0，
∴x2﹣2x＝m，
∴x2﹣2x+1＝m+1，
∴（x﹣1）2＝m+1．
故选：A．
4．（2024秋 裕华区校级月考）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（ ）
A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m
【解答】解：设BC＝x m，则AB＝ m，
根据题意得：x ＝21，
整理得：x2﹣13x+42＝0，
解得：x1＝6，x2＝7，
又∵墙长6.5m，
∴x＝6，
∴BC长为6m．
故选：D．
5．（2024秋 锡山区校级月考）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C． D．
【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28．
故选：D．
6．（2024 东莞市校级一模）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：令x2+4x+4＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×4＝0，
∴抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数是1．
故选：B．
7．（2024秋 晋源区月考）如图，将线段AB绕它的中点O逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段A′B′，A，B的对应点分别是点A′，B′，依次连接AA′，A′B，BB′，B′A．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠AA′B＝90°
B．对于任意α，四边形AA′BB′都是矩形
C．AB＝2BB′
D．当α＝90°时，四边形AA′BB′是正方形
【解答】解：由旋转的性质得OA＝OB＝OA′＝OB′，
∴四边形AA′BB′是矩形，
∴∠AA′B＝90°，
∵不清楚旋转角度，故不能证明AB＝2BB′，
∵∠AOA′＝α＝90°时，AB⊥A′B′，
∴四边形AA′BB′是正方形，
故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
8．（2024秋 西山区校级月考）关于函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小值为0
B．图象与y的交点为（0，1）
C．图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1
D．图象与x轴没有交点
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该函数开口向上，有最小值，最小值为0，故选项A正确，不符合题意；
当x＝0时，y＝1，即图象与y的交点为（0，1），故选项B正确，不符合题意；
该图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1，故选项C正确，不符合题意；
图象与x轴交于（1，0），故D选项不正确，符合题意；
故选：D．
9．（2024 宁河区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
10．（2024秋 嘉祥县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③5a+2b﹣3c＜0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．⑤4a+2b＞am2+bm其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线的图象开口向下，
∴a＜0，
又∵对称轴为直线x＝2，
∴．
∴b＝﹣4a＞0，且4a+b＝0，故②正确；
∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
又∵当x＝﹣1时，函数值为0，
∴a﹣b+c＝0，即a+c＝b，
∵4a+b＝0，b＞0，
∴5a+2b﹣3c＝5a﹣8a﹣3c＝﹣3a﹣3c＝﹣3（a+c）＝﹣3b＜0，故③正确；
又结合图象，
∴当x＞﹣1时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误；
∵当x＝2时，y取得最大值为4a+2b+c，
∴对任意的实数m，都有4a+2b+c≥am2+bm+c，
∴4a+2b≥am2+bm，故⑤错误；
综上，正确的有②③．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2024秋 玄武区校级月考）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为 ③或④或⑦或 ．
【解答】解：可以选③或④或⑦或 ．
故答案为：③或④或⑦或 ．
12．（2024 游仙区模拟）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 （，3） ．
【解答】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB＝∠B＝30°，
∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，
∴AD＝1，BD＝，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴B（3，），
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，
∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3，
∴B′坐标为：（，3）．
故答案为：（，3）．
13．（2024 雨花区校级二模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2024﹣a+b的值是 2025 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，
∴a×（﹣1）2+b×（﹣1）+1＝0，即a﹣b＝﹣1，
∴2024﹣a+b＝2024﹣（a﹣b）＝2024﹣（﹣1）＝2025，
∴2024﹣a+b的值是2025．
故答案为：2025．
14．（2024 绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 10% ，
【解答】解：根据题意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486，
解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均降价率为10%．即r＝10%．
故答案为：10%．
15．（2024秋 德州月考）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*（2x+1）＝﹣1，则它的根为 x1＝﹣，x2＝﹣1 ．
【解答】解：∵x*（2x+1）＝﹣1，
∴（x+2x+1）（x﹣2x﹣1）﹣1＝﹣1，
整理得，（3x+1）（﹣x﹣1）＝0，
∴3x+1＝0或﹣x﹣1＝0，
解得，，
故答案为：．
16．（2024秋 金乡县月考）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 ．
【解答】解：∵该抛物线的顶点为（﹣3，2），
∴设此抛物线解析式为y＝a（x+3）2+2，
∵抛物线y＝a（x+3）2+2的形状、开口方向与抛物线相同，
∴，
∴此抛物线解析式为，
故答案为：．
17．（2024秋 道里区校级月考）如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为 2 米．
【解答】解：设抛物线为y＝ax2，
将点（3，﹣3）代入二次函数表达式得：则﹣3＝a×32，
解得：，
故抛物线为，
当y＝﹣1时，，
解得：x＝±，
∴当水面上升2米后水面宽度为，
故答案为：．
18．（2024秋 姑苏区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0．
其中正确的是 ①③ ．
【解答】解：①由图表中数据可得出：y随x的增大先增大后减小，
∴二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0，
又∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3＞0，所以ac＜0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5，
∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵x＝3时，y＝3，
∴9a+3b+c＝3，
∵c＝3，
∴9a+3b+3＝3，
∴9a+3b＝0，
∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确；
④∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0是错误的，故④错误．
故答案为：①③．
三．解答题（共8小题）
19．（2024春 凉州区期末）解方程：
（1）（x+2）2﹣25＝0；
（2）x2﹣4x﹣3＝0．
【解答】解：（1）原方程整理得（x+2）2＝25，
直接开平方得：x+2＝±5，
解得：x1＝3，x2＝﹣7；
（2）原方程整理得x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝7，
直接开平方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
20．（2024秋 澧县月考）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若，x1和x2是原方程的两个实数根，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值．
【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0有实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4b2≥0，
即（a+b）（a﹣b）≥0，
∴a+b＞0，a﹣b≥0，
∴a≥b；
（2）∵，
∴设a＝2k，，
∴x2+4kx+3k2＝0，
∴（x+k）（x+3k）＝0，
解得x＝﹣k或x＝﹣3k，
又∵2x1﹣x2＝2，
∴当x1＝﹣k，x2＝﹣3k时，2×（﹣k）﹣（﹣3k）＝2，
解得k＝2，
当x1＝﹣3k，x2＝﹣k时，
2×（﹣3k）﹣（﹣k）＝2，
解得（不合题意，舍去），
∴．
21．（2024秋 东台市月考）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元．
（1）每天的销售量为 （60﹣5x） 瓶，每瓶洗手液的利润是 （4+x） 元．（用含x的代数式表示）；
（2）若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？
【解答】解：（1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润为（4+x）元，
故答案为：（60﹣5x），（4+x）；
（2）依题意得：（60﹣5x）（4+x）＝315，
解得：x1＝3，x2＝5．
答：销售单价应上涨3元或5元．
22．（2024秋 西湖区校级月考）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）以点C为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；
（2）在（1）的基础上，求线段AB和线段A′B′夹角的度数．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C即为所求；
（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，∠A′＝∠A，
∴∠A′+∠A′DC＝90°，
∵∠A′DC＝∠ADE，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴AB⊥A′B′，
∴线段AB和线段A′B′夹角的度数为90°．
23．（2024 北京）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E．
（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；
（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：连接CD，
由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，
∴，
∴∠BDC＝∠A，
∴CA＝CD，
∵DE⊥AN，
∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴CD＝CE，
∴CA＝CE，
∴点C是AE的中点；
（2）解：EF＝2AC，
在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，
∵BH＝BA，
∴∠BAH＝∠BHA＝α，
∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠HBD，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△HBD（SAS），
∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，
∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，
∵DF∥AN，
∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，
∵G是EF的中点，
∴GF＝GD，EF＝2GD，
∴∠GFD＝∠GDF＝α，
∴∠HGD＝2α，
∴∠HGD＝∠FHD，
∴DG＝DH，
∵AC＝DH，
∴DG＝AC，
∴EF＝2AC．
24．（2024秋 新城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B′．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）试探究直线AB′是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得：，
∴x2+2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣3，x1＝1，
当x＝﹣3时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（﹣3，﹣9），点B的坐标为（1，﹣1）；
（2）过定点（0，3），
理由：
∵A，B是抛物线y＝﹣x2图象上的点，
∴设A（m，﹣m2），B（n，﹣n2），则B′（﹣n，﹣n2），
∴，
∴x2+kx﹣3＝0，
∴m，n是x2+kx﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝﹣k，mn＝﹣3，
设直线AB′的解析式为y＝px+q，
∴，
，
∴y＝（n﹣m）x﹣mn，
∵mn＝﹣3，
∴﹣mn＝3，
∴y＝（n﹣m）x+3，
故过定点（0，3）．
25．（2024秋 姑苏区校级月考）如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B．
（1）连结BC，求直线BC的解析式；
（2）点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标及△BCP面积的最大值．
【解答】解：（1）∵对于，
令x＝0，可得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，可得﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），C（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
解得k＝
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2；
（2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+t+2），则Q（t，﹣t+2），
∴PQ＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t，
∴S＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCP的面积最大，面积的最大值为4，此时P（2，3）．
26．（2024秋 海珠区校级月考）某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的函数图象是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
（1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
【解答】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，
解得：，
故y与x之间的关系式为，
图②可得：函数经过点（0，30），（100，20），
设z＝kx+b，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为；
（2），
∴w与x之间的函数关系式为；
（3）令y＝490，得，
解得：x＝70（负值舍去），
由图象可知，当0＜y≤490时，
，
∵，
∴当x≤75时，w随x的增大而增大，
∵0＜x≤70，
∴当x＝70时，w有最大值＝，
答：今年最多可获得毛利润1120万元．
