河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
2．关于命题,,下列结论正确的是( )
A.q是存在量词命题,是真命题 B.q是存在量词命题,是假命题
C.q是全称量词命题,是真命题 D.q是全称量词命题,是假命题
3．已知集合,则用列举法表示( )
A. B. C. D.
4．已知,,,则“”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知正数a,b满足,则的最小值为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
6．已知集合,,,若C恰有1个真子集,则实数( )
A.2 B.6 C.-2或6 D.2或6
7．某花卉店售卖一种多肉植物,若每株多肉植物的售价为30元,则每天可卖出25株;若每株多肉植物的售价每降低1元,则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元,则每株这种多肉植物的最低售价为( )
A.25元 B.20元 C.15元 D.10元
8．学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有( )
A．5名 B．4名 C．3名 D．2名
二、多项选择题
9．下列各组对象能构成集合的有( )
A.南昌大学2024级大一新生 B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员
C.体型庞大的海洋生物 D.唐宋八大家
10．已知,则使得成立的充分条件可以是( )
A. B. C. D.
11．已知二次函数（a,b,c为常数,且）的部分图象如图所示,则( )
A.
B.
C.
D.不等式的解集为
三、填空题
12．已知,,则a______________b.(填“>”或“<”)
13．已知,,集合,则________.
14．已知,则的最大值为________.
四、解答题
15．已知全集,集合,.
（1）若,求,;
（2）若,求a的取值范围.
16．给出下列两个结论：
①关于x的方程无实数根;
②存在,使.
(1)若结论①正确,求m的取值范围;
(2)若结论①,②中恰有一个正确,求m的取值范围.
17．已知正数a,b,c满足.
(1)若,求的最小值;
(2)求的最小值.
18．已知,函数.
（1）当时,函数的图象与x轴交于,两点,求;
（2）求关于x的不等式的解集.
19．设A是由若干个正整数组成的集合,且存在3个不同的元素a,b,,使得,则称A为“等差集”.
（1）若集合,,且B是“等差集”,用列举法表示所有满足条件的B;
（2）若集合是“等差集”,求m的值;
（3）已知正整数,证明:不是“等差集”.
参考答案
1．答案：D
解析：对A：是无理数,故A错误;
对B：不是自然数,故B错误;
对C：整数不都是自然数,如是整数但不是自然数,故C错误;
对D：有理数都是实数,故D正确.
故选：D.
2．答案：D
解析：对于命题q,是全称量词命题,当,,,而,故q为假命题;
所以q为全称量词命题且为假命题.
故选：D.
3．答案：B
解析：由题意可得可为、,
即x可为0,2,-2,4,即.
故选：B.
4．答案：B
解析：当,,,得,a,b,c不能构成三角形的三边长,
若a,b,c是某三角形的三边长,则有,
所以“”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：A
解析：因正数a,b满足,
则,
当且仅当,即,,
所以当时,取得最小值9.
故选:A
6．答案：C
解析：由C恰有1个真子集,故C中只有一个元素,
即与有且只有一个交点,
将代入,有,
即,解得或.
故选：C.
7．答案：D
解析：设售价为x元,
则销售量为,
销售额,整理可得,
解得,
所以最低售价为10元,
故选：D.
8．答案：B
解析：设三个小组都参加的人数为x，只参加音乐科学的人数为，只参加音乐体育的人数为，只参加体育科学的人数为，作出韦恩图，如图，
由题意，，
即，
因为有12名学生只参加了2个兴趣小组，所以，
代入解得，即三个兴趣小组都参加的有5人，
所以参加兴趣小组的一共有人，
所以不参加所有兴趣小组的有人.
故选：B
9．答案：ABD
解析：对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确，对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确，对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误，对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确.故选：ABD
10．答案：AB
解析：可化为,即,
由,故,即,
即,故A、B正确;C、D错误.
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：由图象可知,该二次函数开口向上,故,
与轴的交点为、,
故,
即、,
对A：,故A错误;
对B：,故B正确;
对C：,故C正确;
对D：可化为,即,
即,其解集为,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：,
,
因为,所以,
所以,
所以,
所以.
故答案为：.
13．答案：8
解析：由题设,若,则不满足元素的互异性,
所以,显然满足题设,
所以.
故答案为:8
14．答案：
解析：令,,则,,
则
,
当且仅当时,等号成立,
故的最大值为.
故答案为:.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）当时,,则,
因为,所以;
（2）当时,成立,此时,解得,
当时,由,得,解得,
综上,.
16．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)若关于x的方程无实数根,
则有,即,
解得;
(2)若存在,使,
由时,,
故在时有解,即有,即,
由(1)知,若结论①正确,则,
故结论①,②中恰有一个正确时,或.
17．答案：(1)
(2)8
解析：(1)若,则,则,
当且仅当,即,时,等号成立;
(2)
,
当且仅当、、、时,
即时,等号成立,
故的最小值为8.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,.由题可知,是方程的两个实数根,则,.
由,得,
则.
（2）由,得.
当时,不等式整理为,解得,即原不等式的解集为.
当时,令,得或.
当时,,则原不等式的解集为;
当时,,则原不等式的解集为;
当时,则原不等式的解集为;
当时,,则原不等式的解集为.
19．答案：（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）因为集合,,存在3个不同的元素a,b,,使得,
则或或.
（2）因为集合是“等差集”,
所以或或,
计算可得或或或,
又因为m正整数,所以.
（3）假设是“等差集”,
则存在m,n,,,成立,
化简可得,
因为,,所以,
所以与集合的互异性矛盾,
所以不是“等差集”.
