勤建学校高一年级上学期第一次调研考试
数学试卷2024.10
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．，使得 D．，使得
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知实数，，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数，若，则实数的取值是（ ）
A．3 B． C．3或 D．5或
6．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数满足若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的最小值是（ ）
A．16 B．25 C．27 D．34
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列式子中，可以是的充分条件的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的方程，则（ ）
A．当时，方程只有一个实数根 B．是方程有实数根的必要不充分条件
C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根
11．已知函数下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域是 B．的值域是
C．若，则 D．的图象与直线有一个交点
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，求___________.
13．已知在不等式的解集中，则实数的取值范围是___________.
14．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）证明：
（1）；
（2）.
16．（15分）设集合，，.求：
（1）；
（2）；
（3）.
17．（15分）已知函数的定义域为，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（17分）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备。预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元.
（Ⅰ）写出与之间的函数关系式；
（Ⅱ）从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；
（Ⅲ）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；
（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由。（注：）
19．（17分）已知函数.
（1）若函数有最大值，求实数的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式.
勤建学校高一年级上学期第一次调研考考试
数学试卷参考答案及评分标准：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A A D B A B ACD AC BCD
1．C【详解】因为集合，，所以，故选：C.
2．C【详解】“，”的否定是“，使得”故选：C.
3．A【详解】函数有意义，则，解得，所以原函数的定义域为.故选：A.
4．A【详解】对A，，则，所以，故A正确；
对B，不妨设，，，，则，故B错误；
对C，不妨设，，，，则，故C错误；
对D，不妨设，，，，则，故D错误；
故选：A.
5．D【详解】当时，，解得：；当时，，解得：；即实数的取值是5或.故选：D.
6．B【详解】由不等式，可得，
解得或，即不等式的解集为.故选：B.
7．A【详解】因为，，所以，则.故选：A.
8．B【详解】由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值25.故选：B.
9．ACD【详解】因为，，，，所以，ACD选项中的条件都是的充分条件，B选项中的条件是的必要条件.
故选：ACD.
10．AC【详解】对于A，时，方程只有一个实根，A正确；
对于B，方程有实数根，则，即，解得或，
因此是方程有实数根的充分不必要条件，B错误；
对于C，若方程二根为，则，，不可能有两个不等正根，C正确；
对于D，当时，方程有2个不等负根，D错误.
故选：AC.
11．BCD【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误.
B选项，当时，，当时，，，所以的值域是，所以B选项正确.
C选项，由B选项的分析可知，若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确.故选：BCD.
12．7【详解】，，故答案为：7.
13．【详解】因为在不等式的解集中，所以把代入不等式得：，解得，故答案为：.
14．或【详解】因为关于的不等式的解集为，即不等式恒成立，若，即，当时，则，符合题意；当时，则不恒成立，不符合题意；若，即且，则，解得或；
综上所述：实数的取值范围是或.故答案为或.
15．（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【详解】（1），
当且仅当时，即时，等号成立 5分
（2）， 10分
当且仅当时取等号，此时，
显然的值不存在，所以等号不成立， 12分
所以 13分
16．（1）（2）或（3）
【详解】（1），，，
. 3分
（2），，
， 6分
9分
（3），
， 12分
15分
17．（1），（2）
【详解】（1）由，解得，即， 2分
由，则， 4分
因为，所以有，解得，
即实数的取值范围是 7分
（2）由，则当时，满足题意，即此时有，解得； 10分
当时，根据题意，此时有或，
解得； 14分
综上：当，实数的取值范围是 15分
18．（Ⅰ）；
（Ⅱ）从第3年开始盈利；
（Ⅲ）方案（Ⅰ）比较合理.
【详解】解：（Ⅰ）依题得： 3分
（Ⅱ）解不等式，得：
，，故从第3年开始盈利. 7分
（Ⅲ）（1）
当且仅当时，即时等号成立. 10分
到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元. 11分
（2），当时， 14分
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利万元 15分
盈利额达到的最大值相同，而方案（1）所用的时间较短，故方案（1）比较合理. 17分
19．（1）（2）（3）分类讨论，答案见解析.
【详解】（1）解：根据题意，函数，
因为函数有最大值，则有且，
解得； 3分
（2）因为不等式恒成立，
当时，恒成立， 4分
当时，必有，解得， 6分
综上：，即的取值范围为； 7分
（3），即，
变形可得， 8分
①时，原不等式为，解得，此时不等式的解集为； 9分
②时，， 10分
时，，方程无解，此时不等式的解集为， 11分
当时，不等式为，此时不等式的解集为， 12分
当时，，方程有两个不等的实根，即，且，
此时不等式的解集为； 14分
③时，，方程有两个不等的实根，即，且，
此时不等式的解集为， 16分
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为. 17分
