府谷县2024-2025学年度第一学期期中检测
九年级数学（北师大版）
考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为4.75m，则此时的飞行时间为（ ）
A． B．0.5s C．12.5s D．或12.5s
8．如图，在矩形中，对角线相交于点平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
10．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，若，则的度数为________．
11．不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，估计木箱中蓝球有________个．
12．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为________cm．
13．如图，在正方形中，，点是边上一点，且．点是对角线上一点，连接，若，则的长为________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解方程：．
15．（5分）解方程：．
16．（5分）如图，相交于点，连接，且，求的长．
17．（5分）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在矩形中，点在上，且，连接．求证：．
19．（5分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
20．（5分）小林和小云一起来到西安旅游，晚上他们打算吃特色美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么，他们制作了四张除正面外其他完全相同的卡片，在正面上分别写着A：羊肉泡馍，B：擀面皮，C：葫芦头泡馍，D：粉蒸肉，将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好小林先从四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，小云再从四张卡片中随机抽取一张．
（1）小林抽到卡片正面写着D：粉蒸肉的概率是________；
（2）请利用列表或画树状图的方法，求两个人抽到同一种特色美食的概率．
21．（6分）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为55.2m．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为1.6m．求水塔的高度．
22．（7分）某公园准备在一块长为42m，宽为30m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为．
（1）花园内温室花房的面积为________，小路面积为________；（用含的代数式表示）
（2）若草坪面积为，求小路宽度．
23．（7分）如图，在中，点分别在边上，，垂足为，垂足为，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
24．（8分）如图，在菱形中，对角线交于点，点是边的中点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
25．（8分）如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为．
（1）用含的代数式表示：________________cm；
（2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图（1），正方形的边长为4，点为边的中点．连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点，请沿着小明的思路思考下去，则的值为________；
【问题探究】
（2）如图（2），菱形的边长为3，且，连接，点为边上一点，连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点，若，求的值；
【问题解决】
（3）如图（3），在四边形中，，且，点为边上一点，连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点，求的长．
