第七章《万有引力与宇宙航行》单元练习卷
一．选择题（共12小题）
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（ ）
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．牛顿提出了万有引力定律，开普勒测量出了万有引力常量的值
C．牛顿在实验中测出万有引力常量G，因而被称为是能称出地球质量的人
D．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
2．关于下列四个运动的描述，正确的是（ ）
A．如图甲所示，空间站绕地球做匀速圆周运动时，速度保持不变
B．如图乙所示，在忽略空气阻力的情况下，斜向上抛出的秧苗做匀变速曲线运动
C．如图丙所示，从跳板上起跳后的运动员旋转下降时，头部的速度方向始终竖直向下
D．如图丁所示，树叶上的蜗牛做圆周运动时，受到的合力为零
3．位于地球赤道上的一物体A，质量为m，已知当地的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．根据以上条件，能计算出地球质量M
B．由以上条件，可求得地球的平均密度为
C．与地球同步卫星相比，A的角速度更大
D．A的线速度大于第一宇宙速度
4．我国首个大型巡天空间望远镜（CSST）计划于2024年前后发射，开展广域巡天观测。该望远镜将会和离地高度400km、绕地球近似做匀速圆周运动的天宫空间站共轨长期独立飞行。下列说法正确的是（ ）
A．该望远镜处于完全失重状态，所以不受重力作用
B．该望远镜绕地球做匀速圆周运动的周期为24小时
C．该望远镜绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小等于天宫空间站的向心加速度大小
D．该望远镜绕地球一圈至少与天宫空间站相遇1次
5．分子云中的致密气体和尘埃在引力作用下不断集聚逐渐形成恒星，恒星的演化会经历成年期（主序星）、中年期（红巨星、超巨星）、老年期——恒星最终的归宿与其质量有关，若质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。假设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度约为白矮星密度的108倍，白矮星半径约为中子星半径的103倍。根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ）
A．恒星坍缩后的第一宇宙速度变大
B．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
C．同一恒星表面任意位置的重力加速度大小相同
D．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度变小
6．2024年6月2日清晨，嫦娥六号探测器成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点。下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过A点的速度小于经过B点的速度
C．嫦娥六号探测器在圆轨道上运行的周期小于在椭圆轨道上运行的周期
D．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过A点的加速度大于在圆轨道上经过A点的加速度
7．2024年4月26日神舟十八号载人飞船与空间站天和核心舱成功完成自主交会对接。若对接后近似认为空间站在距地面高400km的轨道上做匀速圆周运动。已知地球半径为6400km，地球表面重力加速度大小g＝10m/s2，则空间站的运行速率约为（ ）
A．8.0km/s B．7.8km/s C．7.0km/s D．6.5km/s
8．火星的卫星中，火卫一绕火星公转的轨道半径为r，火卫二绕火星公转的轨道半径为2.5r。只考虑火星对卫星的力，卫星的公转视为匀速圆周运动。则火卫一和火卫二的公转（ ）
A．线速度之比为
B．向心加速度之比为5：2
C．周期之比为
D．角速度之比为8：125
9．“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图甲是人造地球卫星A的运行圆轨道及某时刻星下点M的示意图。图乙为某段时间内卫星A绕地球做匀速圆周运动的星下点轨迹的经、纬度平面图，已知地球静止同步轨道卫星B（图中未画出）的轨道半径为r。下列对卫星A的运动情况说法正确的是（ ）
A．运行周期为12h
B．轨道半径为
C．运行速度大于7.9km/s
D．轨道平面与北纬60°平面重合
10．如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此科学家设想在拉格朗日点L1建立一空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球的向心加速度大小，a3表示地球静止卫星的向心加速度大小。则（ ）
A．a3＞a2＞a1 B．a3＞a1＞a2 C．a2＞a1＞a3 D．a2＞a3＞a1
11．2024年4月26日3时32分，神舟十八号载人飞船入轨后，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时；它的成功对接，意味着中国航天在国际上的地位和影响力将得到进一步提升，它必将激励更多的年轻人投身航天事业，推动中国航天事业的持续发展。如图为神舟十八号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为R1，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为R2，P、Q分别为②轨道与①③轨道的交会点。关于空间站的运行和神舟十八号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是（ ）
A．空间站运行过程不受任何力的作用
B．若已知空间站运行的轨道半径，则根据题干信息可以得到地球的质量
C．神舟十八号飞船从②轨道变轨到③轨道需要在Q点点火加速
D．若核心舱在③轨道运行周期为T，则飞船在②轨道从P到Q的时间为
12．2023年10月26日消息，韦伯望远镜首次检测到恒星合并后啼（tellurium）等重元素的存在，可以帮助天文学家探究地球生命起源的奥秘。韦伯望远镜位于“拉格朗日L2点”上，跟随地球一起围绕太阳做圆周运动，图中的虚线圆周表示地球和韦伯望远镜绕太阳运动的轨道，韦伯望远镜和地球相对位置总是保持不变。已知太阳质量为M1、地球质量为M2，地球到太阳的距离为R，用l表示韦伯望远镜到地球的距离，把太阳、地球都看作是质点。由于的值很小，根据数学知识可以解出，你可能不知道这个解是用怎样的数学方法求出的，但根据物理知识你可以得出这个解对应的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）13．在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v—t图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，下列说法正确的是（ ）
A．星球P和星球Q的质量之比为3：1
B．星球P和星球Q的密度之比为1：1
C．星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为1：3
D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1：1
【解答】解：A、小球在星球做竖直上抛运动的加速度为星球表面的重力加速度，由v﹣t图像的
（多选）14．我国未来将建立月球基地并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机A仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站绕月圆轨道半径为r，周期为T，引力为常量G，月球的半径为R，下列判断正确的是（ ）
A．航天飞机由椭圆轨道到达B处进入空间站轨道时必须减速
B．图中的航天飞机正在减速飞向B处
C．月球的质量为
D．月球的第一宇宙速度大小为
（多选）15．2019年3月10号，长征三号乙运载火箭将“中星6C”通信卫星（记为卫星Ⅰ）送入地球同步轨道上，主要为我国、东南亚、澳洲和南太平洋岛国等地区提供通信与广播业务。在同平面内的圆轨道上有一颗中轨道卫星Ⅱ，它运动的每个周期内都有一段时间t（t未知）无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，因为其轨道上总有一段区域没有被卫星Ⅰ发出的电磁波信号覆盖到，这段区域对应的圆心角为2α．已知卫星Ⅰ对地球的张角为2β，地球自转周期为T0，万有引力常量为G，则根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为T0
D．题中时间t为T0
三．实验题（共2小题）
16．（1）某物理小组的同学设计了一个测量玩具小车通过凹形桥模拟器最低点时的速度的实验。所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为R＝0.10m）。完成下列填空：
将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图甲所示，托盘秤的示数为 kg；
②将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图乙所示，该示数为 kg；
③将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示；
序号 1 2 3 4 5
m（kg） 1.80 1.75 1.85 1.75 1.85
④根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力大小为 N（保留三位有效数字）；小车通过最低点时的速度大小为 m/s。（重力加速度g取10m/s2，计算结果可保留根号）
（2）一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器：
A．弹簧测力计一个
B．精确秒表一只
C．天平一台（附砝码一套）
D．物体一个
为测定该行星的密度，宇航员在绕行中进行了一次测量，依据测量数据可以求出密度。
绕行时所测物理量为 （限用文字说明和相应符号表示）。
密度为ρ＝ （万有引力常量为G）。
17．月地检验是验证地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力的最初证据。月地检验可以这样思考，地球可以看成质量均匀、半径为R的均匀球体，质量为m0的物体静止在地面上时对地面的压力大小为F。
（1）地面上的重力加速度大小g可以表示为 （用m0和F表示）。
（2）若已知引力常量为G，地球的质量为M，忽略地球的自转，则GM＝ （用m0、F和R表示）。
月球和地球之间的距离为r，月球绕地球的运动可以看成是匀速圆周运动，月球绕地球运动的周期为T。
（3）则月球的向心加速度大小可表示为 r （用r和T表示）。
（4）月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对其吸引力提供，据此可以得到GM＝ （用r和T表示）。
（5）根据上面的分析，只要能验证F＝ （用m0、R、r和T表示），就能证明地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。
四．解答题（共3小题）
18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。2018年11月19日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功将北斗三号双星送入预定轨道，成功完成北斗三号基本系统星座部署。如图所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。
（1）求地球的质量M；
（2）求该卫星的轨道距离地面的高度h；
（3）请推导第一宇宙速度v1的表达式，并分析比较该卫星的运行速度与第一宇宙速度的大小关系。
19．开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列规律。
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，k是一个对所有行星都相同的常量。
（1）在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。
a.如图甲所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间Δt内，扫过的扇形面积为ΔS。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积半径×弧长）
b.请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的二次方成反比。
（2）牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒行星运动定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳与行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其他天体的影响。
a.通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式。
b.实际上太阳并非保持静止不动，如图乙所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为k'。请推导k'的表达式（用MS，MP、L、G和其他常数表示），并说明k′≈k需要满足的条件。
20．宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为d的星球A和星球B。在星球A上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P由静止向下运动，其加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图（b）中实线所示。在星球B上用完全相同的弹簧和物体P完成同样的过程，其a﹣x关系如图（b）中虚线所示。已知两星球密度相等。星球A的质量为m0，引力常量为G。假设两星球均为质量均匀分布的球体。
（1）求星球A和星球B的表面重力加速度的比值；
（2）若将星球A看成是以星球B为中心天体的一颗卫星，求星球A的运行周期T1；
（3）若将星球A和星球B看成是远离其他星球的双星模型，这样算得的两星球做匀速圆周运动的周期为T2。求此情形中的周期T2与上述第（2）问中的周期T1的比值。
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第七章《万有引力与宇宙航行》单元练习卷
一．选择题（共12小题）
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（ ）
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．牛顿提出了万有引力定律，开普勒测量出了万有引力常量的值
C．牛顿在实验中测出万有引力常量G，因而被称为是能称出地球质量的人
D．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
【解答】解：A、开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，故A错误；
B、牛顿提出了万有引力定律，卡文迪什测量出了万有引力常量的值，故B错误；
C、卡文迪什在实验中测出万有引力常量G，因而被称为是能称出地球质量的人，故C错误；
D、开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，故D正确。
故选：D。
2．关于下列四个运动的描述，正确的是（ ）
A．如图甲所示，空间站绕地球做匀速圆周运动时，速度保持不变
B．如图乙所示，在忽略空气阻力的情况下，斜向上抛出的秧苗做匀变速曲线运动
C．如图丙所示，从跳板上起跳后的运动员旋转下降时，头部的速度方向始终竖直向下
D．如图丁所示，树叶上的蜗牛做圆周运动时，受到的合力为零
【解答】解：A．速度是矢量，空间站绕地球做匀速圆周运动时，速度大小不变，方向时刻改变，故A错误；
B．在忽略空气阻力的情况下，斜向上抛出的秧苗只受重力，合力不变，做匀变速曲线运动，故B正确；
C．从跳板上起跳后的运动员旋转下降时，头部在旋转上升时，根据速度合成规律，若头部相对运动员的速度大于运动员对地速度，则速度方向为竖直向上，故C错误；
D．树叶上的蜗牛做圆周运动时，合力提供向心力，不为零，故D错误。
故选：B。
3．位于地球赤道上的一物体A，质量为m，已知当地的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．根据以上条件，能计算出地球质量M
B．由以上条件，可求得地球的平均密度为
C．与地球同步卫星相比，A的角速度更大
D．A的线速度大于第一宇宙速度
【解答】解：A、在地面上，根据重力等于万有引力，得，可得地球的质量为，故A正确；
B、地球的密度为，故B错误；
C、A物体的周期与地球同步卫星的周期相同，则A物体的角速度与同步卫星的角速度相同，故C错误；
D、由v＝ωr可知，A物体的线速度小于同步卫星的线速度。
对于卫星，由万有引力提供向心力，有
得
可知，同步卫星的线速度小于第一宇宙速度，则A的线速度小于第一宇宙速度，故D错误。
故选：A。
4．我国首个大型巡天空间望远镜（CSST）计划于2024年前后发射，开展广域巡天观测。该望远镜将会和离地高度400km、绕地球近似做匀速圆周运动的天宫空间站共轨长期独立飞行。下列说法正确的是（ ）
A．该望远镜处于完全失重状态，所以不受重力作用
B．该望远镜绕地球做匀速圆周运动的周期为24小时
C．该望远镜绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小等于天宫空间站的向心加速度大小
D．该望远镜绕地球一圈至少与天宫空间站相遇1次
【解答】解：A．该望远镜处于完全失重状态，但仍受重力作用，故A错误；
B．该望远镜绕地球做匀速圆周运动的轨道半径远小于同步卫星的轨道半径，根据开普勒第三定律
可知，周期小于同步卫星的周期，即小于24小时，故B错误；
C．该望远镜与天宫空间站共轨，则根据
可知，该望远镜绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小等于天宫空间站的向心加速度大小，故C正确；
D．该望远镜与天宫空间站共轨，则周期也相同，不可能天宫空间站相遇，故D错误。
故选：C。
5．分子云中的致密气体和尘埃在引力作用下不断集聚逐渐形成恒星，恒星的演化会经历成年期（主序星）、中年期（红巨星、超巨星）、老年期——恒星最终的归宿与其质量有关，若质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。假设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度约为白矮星密度的108倍，白矮星半径约为中子星半径的103倍。根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ）
A．恒星坍缩后的第一宇宙速度变大
B．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
C．同一恒星表面任意位置的重力加速度大小相同
D．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度变小
【解答】解：A、对绕恒星运动的行星来说有
当行星运动轨道半径为恒星的半径时，其速度为该恒星的第一宇宙速度，有
由于恒星坍缩前后，其质量不变，体积缩小，即半径变小，所以恒星坍缩后的第一宇宙速度变大，故A正确；
B、由之前的分析可知，某星球的第一宇宙速度的为
由于星球的质量可以表示为
整理有
又因为，由题意可知，中子星密度约为白矮星密度的108倍，白矮星半径约为中子星半径的103倍，所以中子星的第一宇宙速度大于白矮星的第一宇宙速度。即
v中＞v白
又因为已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，所以中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，故B错误；
D、由于在恒星两极处，其物体不随恒星一起自转，所以其万有引力全部提供其重力，有
整理有
由于恒星坍缩前后，其质量不变，体积缩小，即半径变小。所以恒星坍缩后表面两极处的重力加速度变大，故D错误；
C、恒星上某一位置的物体受到的万有引力有两个效果，一个是提供物体所恒星一起转动的向心力，一个是该物体所受的重力，即
由于在恒星表面不同位置，物体做圆周运动的半径不同，所以同一恒星表面任意位置的重力加速度大小不一定相同，故C错误。
故选：A。
6．2024年6月2日清晨，嫦娥六号探测器成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点。下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过A点的速度小于经过B点的速度
C．嫦娥六号探测器在圆轨道上运行的周期小于在椭圆轨道上运行的周期
D．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过A点的加速度大于在圆轨道上经过A点的加速度
【解答】解：A.嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点做近心运动，故减速，故A错误；
B.根据开普勒第二定律，椭圆轨道上在近月点B速度最大，远月点A速度最小，故B正确；
C.根据开普勒第三定律k，圆轨道的半径大于椭圆轨道半长轴，所以圆轨道上的周期大于椭圆轨道上的周期，故C错误；
D.根据Gma，得a，不论卫星在椭圆轨道还是圆轨道上，经过A点时的距离月球的距离相等，则加速度大小就相等，故D错误。
故选：B。
7．2024年4月26日神舟十八号载人飞船与空间站天和核心舱成功完成自主交会对接。若对接后近似认为空间站在距地面高400km的轨道上做匀速圆周运动。已知地球半径为6400km，地球表面重力加速度大小g＝10m/s2，则空间站的运行速率约为（ ）
A．8.0km/s B．7.8km/s C．7.0km/s D．6.5km/s
【解答】解：设地球半径为R＝6400km，空间站的离地高度为h＝400km，空间站绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得，在地球表面上，如果不考虑地球的自转有，代入数据联立解得v＝7.8km/s，故B正确，ACD错误。
故选：B。
8．火星的卫星中，火卫一绕火星公转的轨道半径为r，火卫二绕火星公转的轨道半径为2.5r。只考虑火星对卫星的力，卫星的公转视为匀速圆周运动。则火卫一和火卫二的公转（ ）
A．线速度之比为
B．向心加速度之比为5：2
C．周期之比为
D．角速度之比为8：125
【解答】解：A.根据，得，火卫一绕火星公转的轨道半径为r，火卫二绕火星公转的轨道半径为2.5r，则线速度之比为，故A正确；
B.根据，得，火卫一绕火星公转的轨道半径为r，火卫二绕火星公转的轨道半径为2.5r，则向心加速度之比为a1：a2＝25：4，故B错误；
C.根据，得，火卫一绕火星公转的轨道半径为r，火卫二绕火星公转的轨道半径为2.5r，则周期之比为，故C错误；
D.根据，得，火卫一绕火星公转的轨道半径为r，火卫二绕火星公转的轨道半径为2.5r，则角速度之比为，故D错误。
故选：A。
9．“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图甲是人造地球卫星A的运行圆轨道及某时刻星下点M的示意图。图乙为某段时间内卫星A绕地球做匀速圆周运动的星下点轨迹的经、纬度平面图，已知地球静止同步轨道卫星B（图中未画出）的轨道半径为r。下列对卫星A的运动情况说法正确的是（ ）
A．运行周期为12h
B．轨道半径为
C．运行速度大于7.9km/s
D．轨道平面与北纬60°平面重合
【解答】解：A、根据图乙，假设地球不自转，在卫星A运动的半个周期内，星下点M应该由（纬度60°、经度﹣180°）首次到达（纬度﹣60°、经度0°），而实际在地球自转的情况下，星下点M首次到达了（纬度﹣60°、经度﹣60°），那么经度相差的60°就等于地球自转的角度，地球自转周期为T自＝24h，设卫星A运动的周期为TA，则有：TAT自，解得：TA＝8h，故A错误；
B、地球静止同步轨道卫星B的轨道半径为r，其运动周期等于地球自转周期，即TB＝T自＝24h，卫星A的轨道半径为rA。根据开普勒第三定律得：
，解得：rA，故B正确；
C、7.9km/s是地球的第一宇宙速度，它是卫星绕地球圆周运动半径等于地球半径时的最大的环绕速度，由图甲可知卫星A的轨道半径大于地球半径，故卫星A的运行速度小于最大的环绕速度，即其运行速度小于7.9km/s，故C错误；
D、卫星环绕地球做圆周运动所需的向心力是地球对卫星的万有引力提供的，地球对卫星的万有引力指向地心，卫星的圆周轨道的圆心必是地心，则卫星的轨道平面不与北纬60°平面重合，故D错误。
故选：B。
10．如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此科学家设想在拉格朗日点L1建立一空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球的向心加速度大小，a3表示地球静止卫星的向心加速度大小。则（ ）
A．a3＞a2＞a1 B．a3＞a1＞a2 C．a2＞a1＞a3 D．a2＞a3＞a1
【解答】解：因空间站建在拉格朗日点，故其周期等于月球的周期，根据可得
a2＞a1
对月球和地球的同步卫星而言，由万有引力提供向心力列式
解得
由于同步卫星的轨道半径较小，则有
a3＞a2
则有
a3＞a2＞a1
故A正确，BCD错误。
故选：A。
11．2024年4月26日3时32分，神舟十八号载人飞船入轨后，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时；它的成功对接，意味着中国航天在国际上的地位和影响力将得到进一步提升，它必将激励更多的年轻人投身航天事业，推动中国航天事业的持续发展。如图为神舟十八号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为R1，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为R2，P、Q分别为②轨道与①③轨道的交会点。关于空间站的运行和神舟十八号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是（ ）
A．空间站运行过程不受任何力的作用
B．若已知空间站运行的轨道半径，则根据题干信息可以得到地球的质量
C．神舟十八号飞船从②轨道变轨到③轨道需要在Q点点火加速
D．若核心舱在③轨道运行周期为T，则飞船在②轨道从P到Q的时间为
【解答】解：A.空间站运行过程受到万有引力提供向心力，故A错误；
B.若已知空间站运行的轨道半径，题干中无空间站其他相关信息（比如运行周期），则无法求出地球的质量，故B错误；
C.飞船在Q点由②轨道到变轨到③轨道，由近心运动变为圆周运动，需要点火加速，故C正确；
D.设飞船在②轨道从P到Q的时间为t，根据开普勒第三定律有，解得，故D错误。
故选：C。
12．2023年10月26日消息，韦伯望远镜首次检测到恒星合并后啼（tellurium）等重元素的存在，可以帮助天文学家探究地球生命起源的奥秘。韦伯望远镜位于“拉格朗日L2点”上，跟随地球一起围绕太阳做圆周运动，图中的虚线圆周表示地球和韦伯望远镜绕太阳运动的轨道，韦伯望远镜和地球相对位置总是保持不变。已知太阳质量为M1、地球质量为M2，地球到太阳的距离为R，用l表示韦伯望远镜到地球的距离，把太阳、地球都看作是质点。由于的值很小，根据数学知识可以解出，你可能不知道这个解是用怎样的数学方法求出的，但根据物理知识你可以得出这个解对应的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：以地球为研究对象，设地球围绕太阳运转的角速度为ω，地球和太阳之间的万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律得到：
以韦伯望远镜为研究对象，由题意知，韦伯望远镜跟随地球一起围绕太阳做圆周运动，所以韦伯望远镜的角速度也等于ω，太阳和地球对韦伯望远镜引力之和等于韦伯望远镜的向心力，根据牛顿第二定律：
联立两个方程消去ω，化简可得到：，故BCD错误，A正确。
故选：A。
二．多选题（共3小题）
（多选）13．在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v—t图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，下列说法正确的是（ ）
A．星球P和星球Q的质量之比为3：1
B．星球P和星球Q的密度之比为1：1
C．星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为1：3
D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1：1
【解答】解：A、小球在星球做竖直上抛运动的加速度为星球表面的重力加速度，由v﹣t图像的斜率表示加速度，可知星球P和星球Q表面的重力加速度之比为
在星球表面物体的重力近似等于星球对物体的万有引力，可知
得星球的质量为
M
则星球P和星球Q的质量之比为
32，故A错误；
B、根据质量与密度关系式知星球的密度为
ρ
代入得
，故B正确；
C、根据万有引力提供星球做圆周运动向心力得
得星球的第一宇宙速度为
v
代入得
，故C错误；
D、根据周期与线速度关系式知
代入得
，故D正确。
故选：BD。
（多选）14．我国未来将建立月球基地并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机A仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站绕月圆轨道半径为r，周期为T，引力为常量G，月球的半径为R，下列判断正确的是（ ）
A．航天飞机由椭圆轨道到达B处进入空间站轨道时必须减速
B．图中的航天飞机正在减速飞向B处
C．月球的质量为
D．月球的第一宇宙速度大小为
【解答】解：A、航天飞机到达B处时速度比较大，如果不减速此时万有引力不足以提供向心力，这时航天飞机将做离心运动，继续沿原来的轨道做椭圆运动，故A正确；
B、因为航天飞机接近月球，万有引力对航天飞机做正功，所以航天飞机正在加速飞向B处，故B错误；
C、空间站绕月做圆周运动时，由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则有
解得月球的质量为，故C正确；
D、速度是空间站在轨道r上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故D错误。
故选：AC。
（多选）15．2019年3月10号，长征三号乙运载火箭将“中星6C”通信卫星（记为卫星Ⅰ）送入地球同步轨道上，主要为我国、东南亚、澳洲和南太平洋岛国等地区提供通信与广播业务。在同平面内的圆轨道上有一颗中轨道卫星Ⅱ，它运动的每个周期内都有一段时间t（t未知）无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，因为其轨道上总有一段区域没有被卫星Ⅰ发出的电磁波信号覆盖到，这段区域对应的圆心角为2α．已知卫星Ⅰ对地球的张角为2β，地球自转周期为T0，万有引力常量为G，则根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为T0
D．题中时间t为T0
【解答】解：A、设地球半径为R，质量为M，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为R1、R2，角速度分别为ω1、ω2，周期分别为T1、T2；
对卫星Ⅰ，根据牛顿第二定律，有：，
其中：，
解得：，故A错误；
B、根据角速度公式，两颗卫星的角速度之比为：，
在图中三角形AOB中，根据正弦定理，有：，
故，故B错误；
C、根据周期公式，卫星Ⅰ、Ⅱ的周期之比：，
故，故C正确；
D、由于卫星做的是匀速圆周运动，故tT0，故D正确；
故选：CD。
三．实验题（共2小题）
16．（1）某物理小组的同学设计了一个测量玩具小车通过凹形桥模拟器最低点时的速度的实验。所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为R＝0.10m）。完成下列填空：
将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图甲所示，托盘秤的示数为 kg；
②将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图乙所示，该示数为 kg；
③将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示；
序号 1 2 3 4 5
m（kg） 1.80 1.75 1.85 1.75 1.85
④根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力大小为 N（保留三位有效数字）；小车通过最低点时的速度大小为 m/s。（重力加速度g取10m/s2，计算结果可保留根号）
（2）一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器：
A．弹簧测力计一个
B．精确秒表一只
C．天平一台（附砝码一套）
D．物体一个
为测定该行星的密度，宇航员在绕行中进行了一次测量，依据测量数据可以求出密度。
绕行时所测物理量为 （限用文字说明和相应符号表示）。
密度为ρ＝ （万有引力常量为G）。
【解答】解：（1）根据天平的分度值，可知托盘秤的读数为1.50kg；
根据表格中的数据，可知小车经过凹形桥最低点时，托盘秤示数的平均值为
故小车对桥的压力大小为F＝（m示﹣m桥）g＝（1.80﹣1.00）×10N＝8.00N
小车通过最低点时，满足
其中
FN＝F＝8.00N，m＝1.50kg﹣1.00kg＝0.50kg
代入可得
（2）宇宙飞船在靠近行星表面的圆形轨道上运行时满足
由密度公式可知
联立以上两式，可得
故绕行时所测物理量为宇宙飞船的绕行周期T。
故答案为：（1）1.50，8.00，；（2）宇宙飞船的绕行周期T，。
17．月地检验是验证地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力的最初证据。月地检验可以这样思考，地球可以看成质量均匀、半径为R的均匀球体，质量为m0的物体静止在地面上时对地面的压力大小为F。
（1）地面上的重力加速度大小g可以表示为 （用m0和F表示）。
（2）若已知引力常量为G，地球的质量为M，忽略地球的自转，则GM＝ （用m0、F和R表示）。
月球和地球之间的距离为r，月球绕地球的运动可以看成是匀速圆周运动，月球绕地球运动的周期为T。
（3）则月球的向心加速度大小可表示为 r （用r和T表示）。
（4）月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对其吸引力提供，据此可以得到GM＝ （用r和T表示）。
（5）根据上面的分析，只要能验证F＝ （用m0、R、r和T表示），就能证明地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。
【解答】解：（1）质量为m0的物体静止在地面上时对地面的压力大小等于其重力，则有F＝m0g
得g
（2）忽略地球的自转，物体在地球上受到的重力等于地球对物体的引力，则
Gm0g
得GM＝gR2R2
（3）月球绕地球做匀速圆周运动，其向心加速度大小为a＝ω2rr
（4）月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对其吸引力提供，则
Gm月r
可得GM
（5）由GM以及GM得
F
即只要能验证F，就能证明地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。
故答案为：（1）；（2）；（3）r；（4）；（5）。
四．解答题（共3小题）
18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。2018年11月19日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功将北斗三号双星送入预定轨道，成功完成北斗三号基本系统星座部署。如图所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。
（1）求地球的质量M；
（2）求该卫星的轨道距离地面的高度h；
（3）请推导第一宇宙速度v1的表达式，并分析比较该卫星的运行速度与第一宇宙速度的大小关系。
【解答】解：（1）设一物体的质量为m1，在地球表面附近，万有引定律等于重力：
解得地球质量：M
（2）设卫星质量为m2，根据牛顿第二定律：
解得：h
（3）根据牛顿第二定律：，
得：v
第一宇宙速度为近地卫星的运行速度，即r＝R时，
该卫星的轨道半径r＝R+h＞R，因此其速度v＜v1。
答：（1）地球的质量M为；
（2）该卫星的轨道距离地面的高度h为；
（3）第一宇宙速度v1的表达式为，该卫星的运行速度与第一宇宙速度的大小关系v＜v1。
19．开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列规律。
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，k是一个对所有行星都相同的常量。
（1）在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。
a.如图甲所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间Δt内，扫过的扇形面积为ΔS。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积半径×弧长）
b.请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的二次方成反比。
（2）牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒行星运动定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳与行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其他天体的影响。
a.通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式。
b.实际上太阳并非保持静止不动，如图乙所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为k'。请推导k'的表达式（用MS，MP、L、G和其他常数表示），并说明k′≈k需要满足的条件。
【解答】解：（1）a.根据扇形面积公式可得，Δt时间内行星扫过的扇形面积为ΔS'rvΔt
解得v
根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即为常量，则行星绕太阳运动的现实的v也为常量，所以行星做匀速圆周运动。
b.设行星质量为m，根据题意可知行星的圆周运动由太阳对行星的引力F提供向心力，根据牛顿第二定律得F
根据开普勒第三定律得k
联立解得F
其中4π2km为常量，则太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比；
（2）a.行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得MpL
解得k
b.设行星做匀速圆周运动的轨道半径为r，太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，则L＝R十r
行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力Mpr
太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力MSR
联立解得k'
若要使k≈k'，则
需要行星的质量远小于太阳的质量。
答：（1）a.行星绕太阳运动的线速度的大小为，证明过程见解析；
b.证明过程见解析；
（2）a.推导过程见解析；
b.推导k'的表达式为k'，若k′≈k，需要行星的质量远小于太阳的质量。
20．宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为d的星球A和星球B。在星球A上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P由静止向下运动，其加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图（b）中实线所示。在星球B上用完全相同的弹簧和物体P完成同样的过程，其a﹣x关系如图（b）中虚线所示。已知两星球密度相等。星球A的质量为m0，引力常量为G。假设两星球均为质量均匀分布的球体。
（1）求星球A和星球B的表面重力加速度的比值；
（2）若将星球A看成是以星球B为中心天体的一颗卫星，求星球A的运行周期T1；
（3）若将星球A和星球B看成是远离其他星球的双星模型，这样算得的两星球做匀速圆周运动的周期为T2。求此情形中的周期T2与上述第（2）问中的周期T1的比值。
【解答】解：（1）对物体P受力分析，根据牛顿第二定律：mg﹣kx＝ma
可得：a＝g
结合a﹣x图象可知，纵截距表示星球表面重力加速度，则有：；
（2）设星球B的质量为M，根据万有引力和重力的关系可得：mg
根据质量与体积关系式可得：M
联立解得：ρ
由于星球A和星球B密度相等，可见
则有：；
则星球B与星球A的质量比：
联系以上各式可得：m＝8m0；
星球A以星球B为中心天体运行时，受到星球B的万有引力作用做匀速圆周运动。
研究星球A，根据向心力公式：m0（）2d
解得：T1；
（3）将星球A和星球B看成双星模型时，它们在彼此的万有引力作用下做匀速圆周运动。
研究星球A，根据万有引力提供向心力可得：m0（）2rA
研究星球B，根据万有引力提供向心力可得：m0（）2rB
又：rA+rB＝d
联立可得：T2
则：。
答：（1）星球A和星球B的表面重力加速度的比值为；
（2）若将星球A看成是以星球B为中心天体的一颗卫星，星球A的运行周期为；
（3）此情形中的周期T2与上述第（2）问中的周期T1的比值为。
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