北师大版九年级上册期中预测题
数学试题
考试时间:120分钟 满分150分
班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1．任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对边平行
3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点．若AC＝8，BD＝6，则OE的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
5．如果关于x的一元二次方程的两根分别为x1和x2，那么x1+x2的值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
6．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE交CD于点F，则∠AFC等于（ ）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
7．一元二次方程x2﹣7x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．1，7，3 B．0，﹣7，3 C．0，7，﹣3 D．1，﹣7，3
8．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，为了使四边形BECF是正方形．可以添加一个条件（ ）
A．CE＝CF B．DE＝DF
C．∠A＝45° D．E为AB的中点
9．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
10．已知多项式M＝x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（ ）
①若M＝0，则代数式的值为；
②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14；
③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880
合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960
则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 ．（结果精确到0.01）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝4cm，斜边上的中线CD长为cm，则S△ABC＝ ．
13．一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程x（x﹣5）﹣7（x﹣5）＝0的一个根，则这个三角形的周长是 ．
14．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是 cm2．
15．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．在矩形ABCD中，用尺规作图的方法，做一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）．
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）4（x﹣1）＝x（x﹣1）．
18．已知x、y满足x2y2+x2+y2+8xy+9＝0，求x2+y2的值．
19．矩形ABCD中，AB＝7，，点P在AB边上，且满足AP＝2PC，求PB之长．
20．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查，四个层次为：（A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽查的居民人数是 人；
（2）图中∠α的度数是 度；
（3）该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人？
（4）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
21．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒．
（1）点P，Q之间的距离为？
（2）△PBQ的面积等于8cm2？
22．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分别比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．
23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程ax2+bx﹣6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
24．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
（1）BE与DF有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊的四边形，并说明理由．
25．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．
（1）若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1-5．DBCDA． 6-10．ADCCA．
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．0.96． 12．6． 13．18． 14．4.5． 15．②③④
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．解：如图，四边形BEDF为所求作．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵∠FOD＝∠EOB，
∴△FOD≌△EOB（SAS），
∴DF＝BE，
由作图知EB＝ED，FB＝FD，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
∴四边形BEDF为菱形．
17．解：（1）移项得：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
，
∴；
（2）原方程整理得：4（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0，
（4﹣x）（x﹣1）＝0，
∴4﹣x＝0，x﹣1＝0，
则x1＝4，x2＝1．
18．解：由题意，x2y2+x2+y2+8xy+9＝0，
∴（x2y2+6xy+9）+（x2+y2+2xy）＝0．
∴（xy+3）2+（x+y）2＝0．
∴xy＝﹣3，且x+y＝0．
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝0﹣2×（﹣3）＝6．
19．解：设PB为x，
∵AP＝2PC，
∴，
∵PC2＝PB2+BC2，
∴，
∴3x2+14x﹣17＝0，
解得：x1＝1，（不符合题意舍去），
答：PB之长为1．
20．解：（1）12÷30%＝40（人），
即本次被抽查的居民人数是40人，
故答案为：40；
（2），
故答案为：54；
（3）（人），
答：估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率．
21．解：（1）设经过x秒P、Q之间距离等于，由题意可得PB＝6﹣x，BQ＝2x，PB2+BQ2＝PQ2，
可得：（6﹣x）2+（2x）2＝32，
整理得5x2﹣12x+4＝0，
解得：，x2＝2，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过秒或2秒P、Q之间距离等于，
答：经过秒或2秒P、Q之间距离等于；
（2）设经过x秒△PBQ的面积等于8cm2，
由题意可得PB＝6﹣x，BQ＝2x，
∴，
解得：x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
答：经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
22．解：（1）10.5万元＝105000元
设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x名初中学生受到资助，由题意得：
（200×2x+300x）×6＝105000
解得：x＝25
∴2x＝50
∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．
（2）由题意得：
50×30%×（1+3a%）×200（1+a%）+25×40%×（1+a%）×300（1+2a%）＝10800
∴10×（1+3a%）×（1+a%）+10×（1+a%）×（1+2a%）＝36
设a%＝t，则方程化为：10（1+4t+3t2）+10（1+3t+2t2）＝36
∴25t2+35t﹣8＝0
解得t＝﹣1.6（舍）或t＝20%
∴a＝20．
23．解：（1）是倍根方程，理由如下：
解方程x2﹣3x+2＝0，得x1＝1，x2＝2，
∵2是1的2倍，
∴一元二次方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）分两种情况：
①另外一个根为4时，
2+4，2×4，
∴a，b；
②另外一个根为1时，
2+1，2×1，
∴a＝﹣3，b＝9．
24．解：（1）BE＝DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），
∴BE＝DF；
（2）四边形AEMF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
BC＝DC，
∵BE＝DF，
∴BC﹣BE＝DC﹣DF，
即CE＝CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE＝OF，
又∵OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
25．解：（1）①如图1①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE；
②OD＝AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，
∵△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
∵E为BC的中点，
∴CF＝BEBCDC，
∴CF＝DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF＝∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG＝BC，
∴DG＝AD．
∵BF⊥AE，
∴ODAG＝AD＝AB；
（2）①若点F在CD上，如图2①，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠AOB＝90°．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE2．
∵S△ABEAB BEAE BO，
∴BO．
②若点F在AD上，如图2②，
在Rt△ABE和Rt△BAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴∠BAE＝∠ABF，
∴OB＝OA．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴OB＝OE，
∴OA＝OB＝OE．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE2，
∴OBAE．
综上所述：BO的长为或。
