2024-2025学年山东省枣庄三中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.设，，向量，，，且，，则 ．
A. B. C. D.
3.如图，在二面角的棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且，，，则向量可表示为( )
A.
B.
C.
D.
5.在下列条件中，使与，，一定共面的是( )
A. B.
C. D.
6.若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
7.已知点，若直线：与线段无公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是( )
A. B. 是等边三角形
C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率
B. 平行于轴的直线的倾斜角是或
C. 若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等
D. 若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等
10.已知向量，，，则( )
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
11.如图，正四棱锥的所有棱长均为，为的中点，，分别为棱，上的动点，设，，，则( )
A. 不可能垂直于
B. 的取值范围是
C. 当时，平面平面
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______．
13.已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值______．
14.正四面体的棱长为，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的三个顶点是，，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程；
边的垂直平分线的方程．
16.本小题分
已知平行六面体，，，，，设，，．
求的长度；
求异面直线与所成的角的余弦值．
17.本小题分
已知直线过点
它在轴上的截距是在轴上截距的倍，求直线的方程．
若直线与轴，轴的正半轴分别交于点，，求的面积的最小值及此时直线的方程．
18.本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且，，分别为和的中点，为棱上的点．
证明：；
当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
求到平面的距离；
求直线与平面所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或或
14.
15.解：，，
则边中点的坐标为，
，
则直线的方程为，即；
，，
则，
边上的高与垂直，
边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在的直线方程为，即；
由可知，，边中点的坐标为，
则边的垂直平分线的方程为，即．
16.解：
，
所以
．
所以的长度为．
，，
所以，
，
，
，，
且异面直线所成角的范围是，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17.解：直线不过原点时，
它在轴上的截距是在轴上截距的倍，
可设直线的方程为：．
直线过点，
，解得．
直线的方程为，即．
当直线过原点时，符合题意，斜率，
直线方程为，即；
综上所述，所求直线方程为或．
设直线的方程为，
由直线过点得：．
，化为，
当且仅当，时取等号．
的面积，其最小值为．
此时直线的方程为．
18.证明：由直三棱柱可得平面，且，侧面为正方形，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，且，则，
，
，所以即；
解：平面，平面的一个法向量为，
由知，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
，
又，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小．
19.解：因为平面平面，，平面平面，
所以平面，
因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
设到平面的距离为，因为，所以，
所以，解得，
所以到平面的距离为；
作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，
，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，，解得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，．
所以直线与平面所成角的余弦值为；
“线段上存在点，使得平面”等价于“”．
因为，设，，
则，．
由知平面的法向量为，
所以．
解得．
所以线段上存在点，即中点，使得平面．
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