吴淞中学
2024 学年第一学期期中考试高三年级数学试卷
(本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器)
一. 填空(1至6题每题4分，7至12题每题5分)
1. 设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3}, 则 .
2. 过点(3，2)倾斜角为的直线方程是 .
3. 已知等差数列的公差为1，为其前项和，若 则
4. 已知角在第二象限,且 则= .
的展开式中的系数为 .
6. 已知=(1,2),=(-3,2),则在上的数量投影为 .
7. 已知是定义域为R 的奇函数, 且时, 则的值域是 .
8. 若直线与曲线相切, 则实数的值为 .
9. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格. 某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 .
10. 已知函数 且 则α+β= .
11. 已知函数 若对任意实数，总存在实数，使得 则实数的取值范围是 .
12. 在△ABC中, AB=8,BC=5,AC=5, P为△ABC内部一动点(含边界), 在空间中，若到点 的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 .
二、单选题(13至14题每题4分, 15至16题每题5分)
13. 若 是关于的实系数方程的一个虚数根，则( )
A. b=2, c=3 B. b=2, c=-1 C. b=-2, c=-1 D. b=-2, c=3
14. 已知a∈R, 则“”是”“”的 ( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
15. 设 (其中(ω>υ,|φ|<），若点为函数图像的对称中心，是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象对称轴方程为
B. 函数 的图像关于坐标原点对称；
C. 函数在区间(0,2)上是严格增函数；
D. 若函数在区间(0，m)内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点.
16. 已知,函数的定义域为(a,b∈Z),的值域为的子集，则这样的函数的个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个
三、解答题
17.(本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分)
深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路. 2020年第七次全国国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计(未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据)，我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图.
(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间[0.75，0.85)内的省级行政区有几个
(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内
18.(本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分)
设△ABC的内角A, B, C的对边分别为, 且 B为钝角。
(1) 若 求△ABC的面积; (2) 求 的取值范围.
19. (本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分)
如图, AB为圆O的直径, 点EF在圆O上, ，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2,EF=1.
(1)求证: 平面DAF⊥平面CBF;
(2)当AD的长为何值时，二面角的大小为
20. (本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分)
设, 椭圆 与双曲线的离心率分别为
(1) 若 ，求的值；
(2) 当 时，过双曲线 C的右顶点作两条斜率分别为 的直线 分别交双曲线于点 P、Q(P、Q不同于右顶点)，若 求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出该定值；
(3) 当时, 设点, 若对于直线: ，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线对称，且 ，求实数的取值范围。
21.(本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分)
定义在R上的函数 若 对任意的 成立, 则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的“从属函数”.
(1)若函数y=g(x)是函数y=f(x)的“从属函数”且y=f(x)是偶函数, 求证: 是偶函数；
(2)若 求证: 当a≥1时, 函数. 是函数 的“从属函数”；
(3)设定义在R上的函数y=f(x)与y=g(x)，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数y=g(x)是函数y=f(x)的“从属函数”. 设α:“函数 在R上是严格增函数或严格减函数”； β：“函数y=g(x)在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断α是β的什么条件 请说明理由.吴淞中学
2024 学年第一学期期中考试高三年级数学试卷
(本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器)
一. 填空(1至6题每题4分，7至12题每题5分)
1. 设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3}, 则 .
2. 过点(3，2)倾斜角为的直线方程是 .
3. 已知等差数列的公差为1，为其前项和，若 则 .
4. 已知角在第二象限,且 则= .
的展开式中的系数为 .
6. 已知=(1,2),=(-3,2),则在上的数量投影为 .
7. 已知是定义域为R 的奇函数, 且时, 则的值域是 .
8. 若直线与曲线相切, 则实数的值为 .
9. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格 某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 .
10. 已知函数 且 则α+β= .
11. 已知函数 若对任意实数，总存在实数，使得 则实数的取值范围是 .
12. 在△ABC中, AB=8,BC=5,AC=5, P为△ABC内部一动点(含边界), 在空间中，若到点 的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 .
二、单选题(13至14题每题4分, 15至16题每题5分)
13. 若 是关于的实系数方程的一个虚数根，则( )
A. b=2, c=3 B. b=2, c=-1 C. b=-2, c=-1 D. b=-2, c=3
14. 已知a∈R, 则“”是”“”的 ( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
15. 设 (其中(ω>υ,|φ|<），若点为函数图像的对称中心，是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是 ( )
A. 函数的图象对称轴方程为
B. 函数 的图像关于坐标原点对称；
C. 函数在区间(0,2)上是严格增函数；
D. 若函数在区间(0，m)内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点.
16. 已知,函数的定义域为(a,b∈Z),的值域为的子集，则这样的函数的个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个
三、解答题
17.(本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分)
深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路. 2020年第七次全国国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计(未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据)，我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图.
(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间[0.75，0.85)内的省级行政区有几个
(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内
【解析】
（1）由题意知,
则具有初中及以上文化程度人口比例在区间 内的省级行政区的个数为 .
(2) 由题意知 ,
则该比例落在 区间内.
18.(本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分)
设△ABC的内角A, B, C的对边分别为, 且 B为钝角。
(1) 若 求△ABC的面积; (2) 求 的取值范围.
【解析】
(1) 为钝角,
由
(2) 由
19. (本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分)
如图, AB为圆O的直径, 点EF在圆O上, ，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2,EF=1.
(1)求证: 平面DAF⊥平面CBF;
(2)当AD的长为何值时，二面角的大小为
(1) 证明: 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 .
平面 ,
,
又 为圆 的直径,
,
而 平面 ,
平面 ,
平面 ,
平面 平面 .
(2)设 中点为 , 以 为坐标原点,
的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设 , 则
, ,
,
设平面 的法向量为 , 则
即 , 令 , 可得
取平面 的一个法向量为 , ，即 , 解得 ,则当 的长为 时，二面角 的大小为
20. (本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分)
设, 椭圆 与双曲线的离心率分别为
(1) 若 ，求的值；
(2) 当 时，过双曲线 C的右顶点作两条斜率分别为 的直线 分别交双曲线于点 P、Q(P、Q不同于右顶点)，若 求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出该定值；
(3) 当时, 设点, 若对于直线: ，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线对称，且 ，求实数的取值范围。
【解析】
（1）
（2）由（1）可知, 双曲线的右顶点为 ,
设 的方程分别为 ,
,
分别联立方程组 ,
,
解得 ，
即 ,
,
直线 的倾斜角为
设 , 直线 方程为: ,
由 , 消 整理可得:
, 消 整理可得
,
由 ,
解得 .
,
,
设直线 之中点为 , 则
由点 在直线 上得: ,
又点 在直线 上, , 则 .
又 , ,
21.(本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分)
定义在R上的函数 若 对任意的 成立, 则称函数y=g(x)是函数 的“从属函数”.
(1)若函数y=g(x)是函数y=f(x)的“从属函数”且y=f(x)是偶函数, 求证: 是偶函数；
(2)若 求证: 当a≥1时, 函数. 是函数 的“从属函数”；
(3)设定义在R上的函数y=f(x)与y=g(x)，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数y=g(x)是函数y=f(x)的“从属函数”. 设α:“函数 在R上是严格增函数或严格减函数”； β：“函数y=g(x)在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断α是β的什么条件 请说明理由.
【解析】
（1）因为 是 上的偶函数, 故对任意的 都有 ,
又 是 的"从属函数"，于是 恒成立, 即 对任意的 成立，故 是偶函数。
(2)不妨设 , 当 时, 在 上是严格增函数,
有
而
所以 ,因此, 当 时, 函数 是函数 的 "从属函数".
是 的必要非充分条件.
充分性, 举反例,
令 , 显然 在 上是严格增函数.
因为
所以函数 是函数 的"从属函数", 但 在 上不是单调函数.
因此 不是 的充分条件。
必要性证明，即证：函数 是函数 的 "从属函数"，
若函数 在 上为严格增函数或严格减函数，则函数 在 上是严格增函数或严格减函数.
任取 , 且 , 有
, 即对任意 , ，且 ，有 。
下面证明: 对任意的实数 , 有 或 成立。
若存在 ，使得 且 (1), 其中不妨设 (2),
当(1)或(2)式中有等号成立时, 则与 其中 ) 矛盾,
当(1)(2)两式中等号均不成立时, 考虑
因为 ,
, 由连续函数的零点存在定理知，
必存在 使得 ，也与 其中 矛盾,
同理可证 且 也不可能，因此，对任意的实数 ，有 成立或 成立,
若 成立, 则 在 上是严格增函数; 若 成立, 在 上是严格减函数。必要性得证.
