2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考
数学试卷（9月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
4.红树林是一种宝贵的湿地资源全国红树林的面积在年达到万公顷，预计到年全国红树林面积将达到万公顷，设平均每年的增长率为，可列方程得( )
A. B.
C. D.
5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
6.学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请个球队参加比赛，下列算式正确的是( )
A. B. C. D.
7.对于抛物线，下列说法正确的是( )
A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标
C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标
8.一个三角形的两边长为和，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长( )
A. B. 或 C. D. 和
9.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，若、两点分别从、两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：；；；其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.已知二次函数，则其图象的开口向______填“上”或“下”
12.方程的解是______．
13.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
14.直角三角形两条直角边长分别为，，斜边长为，那么 ______．
15.方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
16.对于实数，定义运算“”为，例如：，
则关于的方程的根的情况是______．
17.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽若水面再上升，则
水面的宽度为______
18.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是______．
19.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______
20.如图，坐标平面上，二次函数的图形与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为，且，若与的面积比为：，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”写出过程
；
．
22.本小题分
如图，一名男生推铅球铅球行进路线呈抛物线形状，测得铅球出手点距地面，铅球行进路线距出手点水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是铅球行进路线的水平距离，是铅球行进路线距地面的高度．
求抛物线的表达式；
求铅球推出的距离是多少米．
23.本小题分
阅读材料：
材料：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ______， ______．
类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值．
24.本小题分
二次函数的解析式为．
求证：无论取何值，抛物线总与轴有交点；
当时，
求抛物线与轴的两个交点的坐标；
当函数值大于时，请直接写出的取值范围．
25.本小题分
把边长为的正方形硬纸板如图，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子如图，折纸厚度忽略不计．
要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？
折成的长方体盒子侧面积四个侧面的面积之和有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长．
26.本小题分
如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，点是射线上的一个动点，过点作轴交射线于点，设点的横坐标为，与重叠部分的面积为．
判断的形状，并证明；
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于、、三点，且，点是抛物线上的一个动点．
求这个二次函数的解析式；
若点在直线下方，运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积；
直线上是否存在一点，使得以点、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.上
12.，
13.
14.
15.
16.有两个不相等的实数根
17.
18.
19.
20.
21.解：，
，
，；
，
，，
两个方程有且只有一个相同的实数根，
这两个方程是“同伴方程”．
22.解：由题意，，顶点坐标为，代入，
，，．
．
抛物线的表达式为．
由题意，令，
或，不合题意，舍去．
铅球推出的距离是米．
23.
24.证明：令，得到，
，，，
，
又，即，
方程有实数根，
则该函数图象与轴总有公共点；
解：，
，
顶点坐标为．
列表如下：
描点；
画图如下：
．
由函数图象知，抛物线与轴的两个交点的坐标为：，；
由图象可得：当时，的取值范围为．
25.解：设剪掉的正方形的边长为．
则，
即，
解得不合题意，舍去，，
剪掉的正方形的边长为；
侧面积有最大值．
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
26.解：为等腰直角三角形；
理由如下：
当时，，解得，，
，，
当时，，则，
，
和都为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形；
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
同理可得的解析式为，
设，
当时，如图，
，，
轴，
为等腰直角三角形，
，
当时，如图，
，
，
，
综上所述，．
27.解：，且，
，
设二次函数的解析式为，把、、代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
点在抛物线上，
可设，
过作轴于点，交直线于点，如图：
，，
直线解析式为，，
，当最大时，四边形的面积最大，
，
，
当时，最大值为，此时，
当点坐标为时，，
故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积为；
直线上存在一点，使得以点、、、组成的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，而，，
若，为平行四边形对角线，则，的中点重合，
，
解得此时与重合，舍去或，
；
，为对角线，
，
方程组无实数解；
，为对角线，
，
解得此时与重合，舍去或，
，
综上所述，的坐标为或．
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