2024-2025学年广东省珠海市上学期9月月考九年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.已知点在二次函数的图象上，则的值可能为( )
A. B. C. D.
3.抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为( )
A. B. ，
C. ， D. ，
4.对于抛物线，下列说法正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标 D. 与轴有交点
5.一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
6.嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是( )
A. B. C. D.
7.算法统宗是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步两步尺时，此时踏板升高离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”
若设秋千绳索长为尺，则可列方程为 ．
A. B.
C. D.
8.已知点，，都在二次函数的图象上，那么、、的大小是( )
A. B. C. D.
9.已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；当时，随的增大而增大；一元二次方程的两根分别为，；若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有 个．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.方程的解为 ．
12.已知是关于的方程的一个根，则 ．
13.把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为 ．
14.如果是一元二次方程的两个实根，那么 ．
15.已知二次函数的图象的顶点在轴上方，则实数的取值范围是 ．
16.如图将抛物线：向下平移个单位得，而、的表达式分别是：，：，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程
配方法
公式法．
18.本小题分
已知抛物线的顶点为，与轴的交点为求抛物线的解析式．
19.本小题分
已知抛物线．
若顶点在轴上，则__________；
若抛物线经过原点，求此抛物线的顶点坐标．
20.本小题分
已知关于的方程：．
求证：无论为何值，方程都有实数根．
若该方程的两个实数根恰为斜边为的直角三角形的两直角边长，求的值．
21.本小题分
如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的某个瞬间，羽毛球飞行的路线可看作抛物线的一部分，其竖直高度为，距发出点的水平距离为甲在点正上方的处发出一球，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为当羽毛球运动到距发出点的水平距离为处时，达到最大高度．
求该抛物线的函数解析式．
该羽毛球能过球网吗？请说明理由．
22.本小题分
如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为．
若围成的花圃面积为，求的长．
如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
23.本小题分
已知，抛物线交轴于，两点，交轴于点，其中点的坐标为，对称轴为点，为坐标平面内两点，其坐标为，．
求抛物线的解析式及顶点坐标；
当时，求的取值范围；
连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
24.本小题分
如图，已知正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向点运动，若、两点同时出发运动时间为．
___________用含的代数式表示
连接、、，求当为何值时，的面积为？
当点在上运动时，是否存在这样的使得是以为一腰的等展三角形？若存在，请求出符合条件的的值：若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.．
15.
16.
17.解：，
移项得，，
等式两边同时加上得，，整理得，，
直接开方得，，
，
，；
解：，
，，
，
．
18.根据题意设，将代入得：，解得：，
则抛物线解析式为故抛物线的解析式为：．
19.．
解：抛物线经过原点，
，
解得，，
抛物线的解析式为：，
顶点坐标为．
20.证明：对于关于的方程，
， ， ，
，
无论为何值方程都有两个实数根；
解：直角三角形的两直角边、的长是该方程的两个实数根，
，，
是直角三角形，
，
，
即，
解得：或，
又，为正数，
的值是．
21.解：由题意可知抛物线的顶点为，与轴的交点为．
设该抛物线的函数解析式为．
把代入，得，
解得，
该抛物线的函数解析式为．
解：该羽毛球能过球网．
理由：在中，令，得．
，
该羽毛球能过球网．
22.解：设垂直于墙的边长为，根据题意得，
则，
解得，，
当时，；当时，．
墙可利用的最大长度为，舍去，
答：的长为．
不能围成这样的花圃．
理由：依题意可知，即，
，
方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
23.抛物线交轴于，两点， 的坐标为，对称轴为，
解得
，
抛物线顶点坐标为．
抛物线开口向上，顶点坐标为，
函数最小值为，对称轴为直线，
，
时，为函数最大值，
当时，的取值范围是：；
二次函数抛物线向下平移个单位后解析式为，
抛物线顶点坐标为，
当顶点落在线段上时，，
解得，
当抛物线向下移动，经过点时，，
解得，
当抛物线经过点时，，
解得，
当，或时，函数图象与线段有一个公共点．
24.解：根据题意：，，
．
解：当在上时，
如图：根据题意，得，
，，，，
，
，
整理，得，
解得．
当在上时，此时，
，
，
，
当为秒或秒时，的面积为；
解：当时，根据勾股定理，得，
，
解得，不符合题意，舍去；
当时，根据勾股定理，得，
，
整理得：，
解得，不符合题意，舍去．
存在这样的秒或秒，使得是以为一腰的等腰三角形．
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