广州市第三中学2024-2025学年九年级上学期阶段性测试数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
4．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是 D．当时，y随x的增大而增大
6．某中学有一块长 30m，宽 20m 的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为 xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B． ＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
8．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．若A（－4，y1）、B（－2，y2）、C（2，y3）三点都在反比例函数y＝（k<0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 ( )
A．y1
11．已知一元二次方程的一个根为2，则 ．
12．现准备开展教职工排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），若安排21场比赛，设x个球队参赛，根据题意，可列方程为
13．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 .
14．若是一元二次方程的一个根，则 ．
15．若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
16．已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（4分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．
(1)求这两年藏书的年平均增长率；
(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗 请通过计算说明．
18．（4分）已知抛物线的图象经过点．
(1)求a的值及顶点坐标；
(2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．
19．（6分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
20．（6分）解下列方程（本题满分10分，每小题5分）
（1）x2﹣4x﹣1＝0 （2）
21．（8分）已知：矩形的两边，的长是关于方程的两个实数根．
(1)当m为何值时，矩形是正方形？求出这时正方形的边长；
(2)若的长为2，那么矩形的周长是多少？
22．（10分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？
(2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
23．（10分）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
24．（12分）在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，设移动时间为秒，分别解答下列问题：
(1)如图①，当移动时间秒时，求的长．
(2)当，移动到能使线段正好平分的面积时，这时时间为多少秒？
(3)如图②，连接、，设，当点关于的对称点正好落在边上时求的值．
25．（12分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是第一象限抛物线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D B B D B D
11．2
12．x（x-1）=21
13．16
14．
15．2
16．或
17．（1）解：设这两年藏书的年平均增长率为x，
根据题意得，5（1+x）2=7.2
解得x1=0.2，x 2=-2.2（舍去）
答：这两年藏书的年平均增长率为20%；
（2）7.2×（1+20%）=8.64（万册）
因为8.64>8.6
所以按照（1）中藏书的年平均增长率，该校期望2022年底藏书量达到8.6万册目标能实现．
18．（1）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标是；
∵经过点，
∴，
解得，，
即a的值是；
（2）解：∵，，
∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，
∵点都在该抛物线上，
∴．
19．（1）证明：方程为：，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
实数的值为．
20．（1）解：
（2）解：
21．（1）解：四边形是正方形，
∴．
又∵，的长是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，此时四边形为正方形；
当时，原方程为，
解得：，
∴正方形的边长是．
（2）∵的长为2，
∴把代入原方程，得，
解得．
将代入原方程，得，
解得
∴方程的另一根，
∴矩形的周长是．
22．解：（1）设的长为米，则，根据题意，得，
整理，得，
解得，，
∵墙的最大可用长度为米，
∴，
∴，
∴，即的长为米；
（2）不能围成面积为平方米的花圃．
理由如下：
根据题意，得，整理，得．
∵，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为平方米的花圃．
23．（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是2米．
（2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要优惠大众，
．
答：每个车位的月租金应上涨40元．
24．（1）解：当时，，，
，，
，，
，
；
（2），，
根据题意可得：，
，
解得：（舍去），，
当时间为秒时，线段正好平分的面积；
（3）如图，连接，过点作于点，
，关于对称，
垂直平分，
平分，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
解得：，
，，
．
25．（1）解：将，代入得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形．
理由如下：根据等腰三角形性质，分两种情况讨论，如图所示：
，
对称轴为直线，
，，
，
设，
①当时，，解得或（舍去），
；
②当时，，解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或；
（3）解：当点运动到位置时，的面积最大．
理由如下：
令，则，解得或，
，
设直线的解析式为，得，解得，
直线的解析式为，
过点作轴，交抛物线于点，如图所示：
设，则，
，
，抛物线开口向下，有最大值，
当时，最大为2，
，
当时，的面积最大，最大值为4，此时．
答：的最大面积为4，此时．
