浙教版2024年九年级上册期中考试模拟检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．抛物线y＝3x2+2开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2．下列事件是必然事件的为（ ）
A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180°
C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“瑞安新闻”
3．下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm
C．2cm，4cm，8cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm
4．“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC
C．CD＝BC D．BC CD＝AC OA
6．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
7．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A．y＝﹣0.1（x+13）2+59.9 B．y＝﹣0.1（x﹣13）2﹣59.9
C．y＝﹣0.1（x+13）2﹣59.9 D．y＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9
8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝2
9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（为实数）在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．﹣12≤t＜4 B．t＜4 C．﹣12＜t≤0 D．0≤t＜4
10．如图1为一圆形纸片，A，B，C为圆周上三点，其中AC为直径，沿弦AB所在的直线翻折，交直径AC于点D，如图2所示，若＝110°，则的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知线段a＝4，b＝8，则a、b的比例中项线段等于 ．
12．若抛物线y＝ax2+bx与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则该抛物线的对称轴为直线 ．
13．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为 ．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 ．
15．如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D为BC的中点，E，F分别在AB，AC上，若，则点D到AB的距离是 ，△AEF的周长是 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标．
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．
19．（8分）为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
射门次数n（次） 10 50 100 200 500 800 1000
射中次数m（次） 7 37 75 142 365 576 720
射中频率 0.70 0.74 0.75 0.71 0.73 0.72 0.72
（1）请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到0.01）．
（2）已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为3：5：2，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
20．（10分）如图，已知△ABC．
（1）作△ABC的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）在线段AB的上方作弦AD，使AD＝BC，连结CD，求证：CD∥AB．
21．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件，该产品定价8元/件时，销售量达到18万件，据测算售价每增加1元，销量将减少1万件．设此产品年销售量为y（万件），售价为x（元/件）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）设利润为w，求w与x的函数关系．如何定价时，年利润最大，最大是多少？
22．（12分）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠AED＝α．
（1）若∠α＝90°，∠BAC＝∠ADB，如图2所示．
①求∠BAD的大小；
②过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，△ABE以点B为旋转中心，顺时针旋转，使△ABE与△CBF重合，且BF＝2，求圆半径的长．
（2）若∠α＝75°，BD＝6，BE＝1，圆的半径为，求AC的长．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作 CPBD，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为 ；
（3）当 CPBD是菱形时，求m的值．
（4）当m为何值时， CPBD的面积有最大值？
浙教版2024年九年级上册期中考试模拟检测卷
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．抛物线y＝3x2+2开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【分析】根据a＞0，抛物线y＝ax2+bx+c开口向上即可解答．
【解答】解：在y＝3x2+2中，
∵3＞0，
∴抛物线y＝3x2+2开口方向是向上；
故选：A．
2．下列事件是必然事件的为（ ）
A．明天早上会下雨
B．任意一个三角形，它的内角和等于180°
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视机，正在播放“瑞安新闻”
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，故此选项错误；
B、任意一个三角形，它的内角和等于180°，是必然事件，故此选项正确；
C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
D、打开电视机，正在播放“瑞安新闻”，是随机事件，故此选项错误；
故选：B．
3．下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm
C．2cm，4cm，8cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm
【分析】根据比例线段的性质，让最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等即得答案．
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
B、∵1×6＝2×3，∴四条线段成比例；
C、∵2×8≠4×8，∴四条线段不成比例；
D、∵3×10≠4×5，∴四条线段不成比例；
故选：B．
4．“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．
【解答】解：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种，
故其概率是；
故选：C．
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC
C．CD＝BC D．BC CD＝AC OA
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵∠DAC＝∠DBC，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；
B、∵△AOD∽△BOC，
∴＝，
∴＝，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；
C、∵△AOB∽△DOC，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝BC，故此选项正确，不合题意；
D、无法得出BC CD＝AC OA，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
6．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
【分析】连接OA，OD，利用垂径定理解答即可．
【解答】解：连接OA，OD，
∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．AB＝8dm，DC＝2dm，
∴AD＝4dm，
设圆形标志牌的半径为r，可得：r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
故选：B．
7．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A．y＝﹣0.1（x+13）2+59.9 B．y＝﹣0.1（x﹣13）2﹣59.9
C．y＝﹣0.1（x+13）2﹣59.9 D．y＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9
【分析】直接利用顶点式求出二次函数解析式即可．
【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣13）2+59.9，
把x＝30，y＝31代入得：
31＝a（30﹣13）2+59.9，
解得：a＝﹣0.1，
故y与x满足的二次函数关系式为：y＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9．
故选：D．
8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝2
【分析】把B（1，1）代入y＝ax2，求出a，把A（﹣2，4），B（1，1）代入y＝bx+c，求出b、c，再把a、b、c代入ax2﹣bx﹣c＝0，解一元二次方程即可．
【解答】解：把B（1，1）代入y＝ax2，
得a＝1，
把A（﹣2，4），B（1，1）代入y＝bx+c，
得，
解得：，
关于x的方程化为x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
故选：C．
9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（为实数）在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．﹣12≤t＜4 B．t＜4 C．﹣12＜t≤0 D．0≤t＜4
【分析】依据题意，我们可以将关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的根可以看作是二次函数y＝﹣x2+bx+3与直线y＝t交点的横坐标的值，从而关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（为实数）在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根就是二次函数y＝﹣x2+bx+3与直线y＝t在﹣1≤x≤5时有两个不同的交点，再由抛物线顶点为（1，4），求出b后得解析式，然后画出草图，结合图象即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+bx+3，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的根可以看作是二次函数y＝﹣x2+bx+3与直线y＝t交点的横坐标的值．
又关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（为实数）在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+3与直线y＝t在﹣1≤x≤5时有两个不同的交点．
∵抛物线顶点为（1，4），
∴对称轴直线x＝﹣＝＝1．
∴b＝2．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∵﹣1≤x≤5，
∴当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝﹣12．
此时对应图象如下，
∵在﹣1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
∴0≤t＜4．
故选：D．
10．如图1为一圆形纸片，A，B，C为圆周上三点，其中AC为直径，沿弦AB所在的直线翻折，交直径AC于点D，如图2所示，若＝110°，则的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【分析】由折叠的性质和圆周角与弧的关系得到：＝＝，结合AC是圆的直径，即可求出的度数．
【解答】解：如图2，设上的点D翻折前为点E，连接AE，
由折叠的性质得到：＝，∠BAE＝∠BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∵AC为直径，
∴++＝++＝，
即110°+2＝180°，
∴＝35°，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知线段a＝4，b＝8，则a、b的比例中项线段等于 4 ．
【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．
【解答】解：设a、b的比例中项为λ，
∵a＝4，b＝8，
∴λ2＝ab＝32，
∴λ＝±，
即a、b的比例中等于．
12．若抛物线y＝ax2+bx与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则该抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ．
【分析】由解析式找到抛物线与x轴的另一交点，根据对称性求出抛物线对称轴．
【解答】解：由y＝ax2+bx可知，当x＝0时，y＝0，
∴抛物线过原点，
又∵抛物线y＝ax2+bx与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴对称轴为x＝＝﹣，
故答案为：x＝﹣．
13．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为 12个 ．
【分析】先根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，
∴袋中球的总个数约为4÷0.25＝16（个），
∴白球的个数为16﹣4＝12（个），
故答案为：12个．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 1或2 ．
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即 0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
15．如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 9﹣3π ．
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，能进而求出答案．
【解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为﹣2×（6π﹣）＝9﹣3π，
故答案为9﹣3π．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D为BC的中点，E，F分别在AB，AC上，若，则点D到AB的距离是 ，△AEF的周长是 ．
【分析】连接AD，过点D作DG⊥AB交于点G，过点D作DM⊥EF交于点M，过点D作DN⊥AC交于点N分别求出BD、AD，利用三角形的面积公式求出DG的长即可点D到AB的距离；根据“两角分别相等的两个三角形全等”证△BED∽△CDF，则得，∠BDE＝∠CFD，再根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似“证△EBD∽△EDF，可得∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，进而可证△EGD≌△EMD，推出EG＝EM，再进一步推出AG＝AN，BG＝CN，EF＝BE+CF﹣2BG，最后证△DGB∽△ADB，利用相似三角形对应边成比例求出BG的长即可．
【解答】解：连接AD，过点D作DG⊥AB交于点G，过点D作DM⊥EF交于点M，过点D作DN⊥AC交于点N，如图所示：
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴BD＝BC＝1，AD⊥BC，∠ADB＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，
∵，
∴DG＝，
又∵∠EDF＝90°﹣∠A，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠BED＝∠FDC，∠EBD＝∠DCF，
∴△BED∽△CDF，
∴，∠BDE＝∠CFD，
∵D为BC的中点，
∴，
∴，
又∵∠EBD＝∠EDF，
∴△EBD∽△EDF，
∴∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，
∵∠EGD＝∠EMD＝90°，∠BED＝∠DEF，DE＝DE，
∴△EGD≌△EMD，
∴EG＝EM，
同理可得：FN＝FM，
∵AB＝AC，
∴ABC是等腰三角形，
∵D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△AND，
∴AG＝AN，
又∵AB＝AC，
∴BG＝CN，
∴EF＝EM+FM＝EG+FN＝BE﹣BG+CF﹣CN＝BE+CF﹣2BG，
∵∠B＝∠B，∠BGD＝∠ADB＝90°，
∴△DGB∽△ADB，
∴，即，
∴BG＝，
∴EF＝BE+CF﹣，
∴△AEF的周长＝AE+AF+BE+CF﹣＝AB+AC﹣＝3+3﹣＝．
故答案为：；．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．
答：树高为5.5米．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标．
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标，令y＝0，可得x2﹣2x﹣3＝0，解方程即可得出与x轴交点坐标；
（2）根据图象与x轴的交点坐标，可确定y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴二次函数图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）或（3，0）；
（2）二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，
与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（3，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3），图象如下：
由图象可知：当y＜0时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜3．
19．（8分）为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
射门次数n（次） 10 50 100 200 500 800 1000
射中次数m（次） 7 37 75 142 365 576 720
射中频率 0.70 0.74 0.75 0.71 0.73 0.72 0.72
（1）请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 0.72 （精确到0.01）．
（2）已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为3：5：2，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
【分析】（1）根据图表可知，该足球小将射中球门的概率为0.72；
（2）用240除以射击1000次左脚射门次数即可求得概率．
【解答】解：（1）据上表，估计该足球小将射中球门的概率为0.72；
故答案为：0.72；
（2）240÷（1000×）＝0.8．
答：左脚射中概率为0.8．
20．（10分）如图，已知△ABC．
（1）作△ABC的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）在线段AB的上方作弦AD，使AD＝BC，连结CD，求证：CD∥AB．
【分析】（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，即可得△ABC的外接圆；以点A为圆心，BC长为半径画弧，交AB上方的圆O于点D，连接AD即可．
（2）由AD＝BC可得，根据圆周角定理可得∠ACD＝∠BAC，再结合平行线的判定定理可得结论．
【解答】（1）解：如图，圆O及AD即为所求．
（2）证明：∵AD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB．
21．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件，该产品定价8元/件时，销售量达到18万件，据测算售价每增加1元，销量将减少1万件．设此产品年销售量为y（万件），售价为x（元/件）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）设利润为w，求w与x的函数关系．如何定价时，年利润最大，最大是多少？
【分析】（1）根据售价每增加1元，销量将减少1万件可得 y＝18﹣1×（x﹣8）；
（2）由每件利润乘以销售数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵售价每增加1元，销量将减少1万件，
∴y＝18﹣1×（x﹣8）＝﹣x+26；
∴y与x之间的函数关系式为 y＝﹣x+26；
（2）根据题意得：w＝（x﹣6）（﹣x+26）＝﹣x2+32x﹣156＝﹣（x﹣16）2+100；
∵﹣1＜0，
∴当x＝16 时，w取最大值100，
∴定价为16元时，年利润最大，最大是100万元．
22．（12分）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠AED＝α．
（1）若∠α＝90°，∠BAC＝∠ADB，如图2所示．
①求∠BAD的大小；
②过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，△ABE以点B为旋转中心，顺时针旋转，使△ABE与△CBF重合，且BF＝2，求圆半径的长．
（2）若∠α＝75°，BD＝6，BE＝1，圆的半径为，求AC的长．
【分析】（1）①由∠α＝90°，由∠ADB+∠DAE＝90°，现把∠BAC＝∠ADB代入即可求解；
②由△ABE与△CBF重合，得AB＝CB，AE＝CF，BE＝BF＝2，由①知∠BAD＝90°，则BC是圆的直径，再求出∠BAC＝30°，∠ADB＝30°，利用直角三角形的性质求解即可；
（2）设圆心为O，连接OE，OA，OD，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，利用垂径定理求出MD＝BM＝3，从而求得ME＝2，在Rt△OMD中，由勾股定理，得OM＝2，从而得到OM＝ME，即有等腰直角三角形OME，求得∠OEN＝30°，可求得，在Rt△ONA中，由勾股定理，得，即可由垂径定理求解．
【解答】解：（1）①∵∠α＝90°，
∴∠ADB+∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝∠ADB+∠DAE＝90°；
②∵△ABE与△CBF重合，
∴AB＝CB，AE＝CF，BE＝BF＝2，
∵∠α＝90°，
∴AC⊥BD，
由①知∠BAD＝90°，
∴BC是圆的直径，
∴AE＝CE，
∴AC＝AE+CE＝2CF，
∴，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BE＝4，∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∴BC＝2AB＝8，
∴圆半径的长为；
（2）设圆心为O，连接OE，OA，OD，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，如图，
∵OM⊥BD，O为圆心，
∴，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△OMD中，由勾股定理得：
，
∴OM＝ME，
∴∠OEM＝∠MOE＝45°，，
∵ON⊥AC，
∴∠ONE＝∠ONA＝90°，AC＝2AN，
∵∠OEN＝∠AED﹣∠OEM＝75°﹣45°＝30°，
∴，
在Rt△ONA中，由勾股定理得：
，
∴．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作 CPBD，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为 （2，﹣3） ；
（3）当 CPBD是菱形时，求m的值．
（4）当m为何值时， CPBD的面积有最大值？
【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式；
（2）先确定点D在x轴上，再利用平行四边形的性质可判断PC∥x轴，然后根据抛物线的对称性确定点P的坐标；
（3）根据菱形的性质得PB＝PC，利用勾股定理即可求解；
（4）过P作PE∥y轴交直线BC于点E，设P（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m﹣3），则S平行四边形CPBD＝2S△PBC＝﹣3（m﹣）2+，当m＝时，四边形CPBD面积最大值为．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵ CPBD有两个顶点在x轴上，
∴点D在x轴上，
而BD∥PC，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点P的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）；
（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，点P的横坐标为m．
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∵ CPBD是菱形，
∴PB＝PC，
∴m2+（m2﹣2m﹣3+3）2＝（3﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2，
整理得m2﹣m﹣3＝0，解得m＝，
∵点P是抛物线在第四象限上一个动点，
∴m＞0，
∴m的值为；
（4）过P作PE∥y轴交直线BC于点E，如图，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B、C坐标代入得：
，
解得：，
∴y＝x﹣3，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m﹣3），
∴PE＝﹣m2+3m，
∴S△PBC＝×3（﹣m2+3m），
∵S平行四边形CPBD＝2S△PBC＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，
∴当m＝时，四边形CPBD的面积有最大值．
