平面向量--2025届高中数学一轮复习高频考点专项练
一、选择题
1．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )
A. B. C. D.
2．平面向量，，则( )
A. B. C.与的夹角为 D.与的夹角为
3．已知向量,满足,,则( )
A.3 B. C.1 D.
4．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.若M为的垂心，，则( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,若与平行,则实数的值为( )
A. B. C.6 D.-6
6．在中,点D是线段AC上一点,点P是线段BD上一点,且,,则( )
A. B. C. D.
7．已知向量,,,若,则( )
A. B.4 C.14 D.32
8．已知向量,,若,则( )
A.-1 B.1 C. D.
9．四边形ABCD是边长为4的正方形,点P是正方形内的一点,且满足,则的最大值是( )
A. B. C. D.
10．如图,在矩形ABCD中,,,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
二、填空题
11．已知平面向量,,,,则的最小值为________.
12．《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中,O为正八边形的中心,则________.
13．已知向量,,,则x的值为____________.
14．已知，，则在上的投影向量为________.
三、解答题
15．已知向量，.
（1）求的坐标；
（2）求.
参考答案
1．答案：D
解析：因为四边形ABCD为平行四边形,且,,
所以,即①,
又,即②,
由①②得到,又,,所以.
故选:D.
2．答案：D
解析：向量，,
夹角的余弦为0,
故选：B
3．答案：D
解析：因为向量,满足,,
所以,,
即,①
,②
所以,得:,即,
所以.
故选:D
4．答案：B
解析：
如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E.
由M为的垂心，，且，
得，所以，，
又，则，同理可得，所以，，设，，则，，
所以，即，，
所以，
所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为,,
所以,
又与平行,
所以,解得.
故选：D.
6．答案：A
解析：因为,所以,即,
又,所以,
因为点P是线段上一点,即B,P,D三点共线,
所以,解得.
故选:A
7．答案：B
解析：因为,,又,所以,
故.
故选:B.
8．答案：B
解析：因为向量,,,
所以,解得.
故选：B.
9．答案：D
解析：根据题意,建立如图所示的直角坐标系,
设,,,,
则,,,,
故,
,
即;
故点P在以点为圆心,1为半径的圆周上运动,
所以的最大值为.
故选:D.
10．答案：C
解析：以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
如图所示.所以,,,设（）,
所以,,所以,解得,
所以.
故选：C.
11．答案：4
解析：因为,,,
则,
当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为16,即的最小值为4.
故答案为:4.
12．答案：/
解析：在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则,
而,即,于是,在等腰梯形ABCH中,
,所以.
故答案为:
13．答案：5
解析：因为,,
所以,
又,所以,解得.
故答案为：5.
14．答案：
解析：因为，，且
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）2.
解析：（1）因为,
故
（2）因为
所以
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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