姓名__________ 准考证号__________
2024–2025学年第一学期阶段评估（二）
九年级数学（华东版）
注意事项：
1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
4．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，若点D的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．2024年8月11日，巴黎奥运会落下帷幕，我国运动员勇夺佳绩．为弘扬运动员们坚持顽强的拼搏精神，我校宣传部计划制作一幅矩形宣传海报，并想在矩形海报的四周增加一圈等宽的白边作为宣传版面，已知海报的长为2m，宽为1m，海报的面积占整幅宣传版面面积的，求白边的宽．若设白边的宽为xm，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．小孔成像法在我国古代天文历法中得到了广泛的应用，如制造圭表和日晷，测量日影的长短和方位，以确定时间、冬至点、夏至点．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
8．自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并广泛地用于各种雕刻中．例如，在设计人体雕像时，如果使雕像上部（腰部以上）与雕像下部（腰部以下）的高度比等于雕像下部与雕像全部的高度比，那么就可以增加视觉美感．若按此比例设计一座高度为3m的雷锋雕像，则该雕像上部的高度约为（结果精确到0．01m；参考数据：）（ ）
A．1.13m B．1.14m C．1.15m D．1.16m
9．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解．小朋在书上摘抄到代数式的值的情况，如下表，根据表格可知方程：的解是
0 1 2 3 …
6 2 0 0 2 6 …
A． B． C． D．或
10．如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间是（ ）
A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如果，那么__________．
12．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为__________．
13．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：__________．
14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻2根方程”．通过计算，判断方程__________（选填“是”或“不是”）“邻2根方程”．
15．如图，在中，AD是中线，BE是角平分线，AD，BE交于点F．若，则的值为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（本题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和．
（1）把先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到；
（2）以图中的O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
18．（本题9分）“腹有诗书气自华，读书万卷始通神”．读书可以让我们的精神得到滋养，让我们的生命更加丰富多彩．为推广全体师生阅读活动，我校图书馆决定加大图书购置经费的投入，其中3月份投入图书购置经费5万元，5月份投入7.2万元．求：
（1）我校这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
（2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该校计划6月份用不超过当月图书购置经费的50%购买电脑和实物投影仪共15台，若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？
19．（本题7分）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）；
（2）判断之间的大小，并证明．
20．（本题8分）随着时代的发展、社会的进步，人们的生活水平得到了极大的提高．在此基础上，人们的出行方式也变得多种多样，其中，汽车成为了人们的主要交通工具之一．对驾驶员来说，除了要严格遵守交通规则，还要时刻保持注意力集中，来应对突发状况．如图，在某小区2号楼拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，BC与DM相交于点O）．已知，则汽车从A处前行的距离AB为多少m时，才能发现C处的儿童？
21．（本题9分）项目化学习
周末，我校数学实践活动小组一起结伴郊游，偶遇一河流，于是想测量下河流的宽度AB，下表是该小组进行数学测量时的记录表的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子、标杆、皮尺、自制的直角三角形模板……各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小组内进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
主题 测量河流宽度AB
测量示意图
测量数据
请你完成下列任务．
（1）任务一：请你借助上述测量数据，计算河流的宽度AB；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识：__________（写出一条即可）；
（3）任务三：请你再设计一个与该数学小组不同的测量方案，并画图简要说明一下．
22．（本题11分）综合与实践
为丰富校园文化生活，展现学生青春风采，我校特别开展了“小小促销员”的社会实践活动．小东以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小东调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
模型建立：
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量Q与售价a之间的关系；
拓广应用：
（3）根据以上信息，小东在销售该种花卉时，要想一天获得400元的利润，应如何定价？
23．（本题13分）综合与探究
问题背景：
在数学课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知在中，，P为BC上的动点，小亮拿含角的透明三角尺，使角的顶点落在点P，三角尺可绕P点旋转．
猜想证明：
（1）如图a，当三角尺的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：；
（2）将三角尺绕点P旋转到图b情形时，三角尺的两边分别交BA的延长线，边AC于点E，F．
与还相似吗？（只需写出结论）
深入探究：
（3）在（2）的条件下，连接EF，与是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，与相似？说明理由．
2024-2025学年第一学期阶段评估（二）
九年级数学（华东版）参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1—5DAABC 6-10BBCDA
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11、 12、2 13、 14、不是 15、
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16、解：（1）原式
；
（2），
，
，
．
17、解：如图即为所求．
18、解：（1）设我校这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：我校这两个月投入图书购置经费的平均增长率为20%．
（2）6月份投入图书购置经费为（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪台，
根据题意得：
解得：，
答：最多可购买电脑8台．
19、（1）解：，
则，
故答案为：>；
（2），
证明：，
，
，
，
．
20、解：在中，，
，
，
，
，
在中，，
答：汽车从A处前行的距离AB为5.75m时，才能发现C处的儿童．
21、解：（1）由题意知．，
．
．
又，
，
解得．
答：河流的宽度AB为40m．
（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一，合理即可）
（3）如图，在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸走一段距离，到达C处，在C处竖立一标杆，然后沿同方向继续行走到D处，使得，再沿着与河岸垂直的方向行走，当走到与A，C共线时停下，位置记为E，这时DE的长度即为河流AB的宽度．（答案不唯一，合理即可）
22、解：（1）示例：根据销售单价从小到大对应排列得下表：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数，设，
把代入得：
解得：，
；
（3）设定价为m元/盆，
每天获得400元的利润，
，
解得：，
要想每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆．
23、（1）证明：在中，
，
，
，
，
，
，
又，
，
（2）；
（3）不相似．当动点P运动到BC中点位置时，与相似，
证明：同（1），可得，
，
，
，
又，
．
