2024-2025学年第一学期九年级阶段巩固过关练习试卷
数学
页数：共4页 分值：120分 练习时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，为中点，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．根据下面表格中的对应值：
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
7．如图，在矩形中，，．对角线，相交于点．点，分别是，的中点，连接，则的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
10．如图，在正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，连接交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．方程的根为________．
12．如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为________．（结果精确到0.1）
13．如图，四边形是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是________．
14．如图，矩形中，对角线、相交于点，于点，，，则的长为________．
15．某等腰三角形的一边长为5，另外两边长是关于的方程的两根，则________．
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每题7分，共21分）
16．解方程：．
17．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为A．决策类人工智能，B．人工智能机器人，C．语音类人工智能，D．视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背而完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为________；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
18．如图，是菱形的对角线，．
（1）请用尺规作图法，在上找点；使（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）条件下，连接，求的度数．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每题9分，共27分）
19．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
20．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，依题意，可列方程________；
（2）从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物付降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物每件售价为多少元时，月销售利润达8400元？
21．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
五、解答题（三）：（本大题共2小题，分别为13分、14分）
22．南海某一初中的社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且截出的长方形卡片的面积为．
（1）方方同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽．
（2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽．
23．在菱形中，．是直线上动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
（1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________；
（2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积．
2024-2025学年第一学期九年级阶段巩固过关练习
参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C A D D A B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．，；12．0.9；13．（不唯一）；14．2；15．35或36．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解：∵，
∴， 2分
即， 3分
则， 5分
∴． 6分
∴，． 7分
17．解：（1） 2分
（2）解：根据题意列表如下：
第二次 第一次
4分
共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果有4种，分别为，，，， 6分
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 7分
18．解：（1）如图所示，点即为所求； 3分
（2）∵四边形是菱形，
∴，，．
∴，，
∴， 6分
∵，
∴ 7分
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形， 2分
∵，
∴
∴四边形是矩形． 4分（方法合理均给分）
（2）解：∵平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴， 6分
∵，，
∴， 8分
∴矩形的面积是：． 9分
20．解：（1）， 3分
（2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 4分
根据题意得：， 6分
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）． 8分
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 9分
21．解：（1）证明：∵，，，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 4分
（2）解：∵和是的两个根，
∴，， 6分
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∴，即， 8分
解得：，（，不合题意，舍去），
∴的值为3． 9分（因式分解也给分）
五、解答题（三）：本大题共2小题，分别为13分、14分
22．解：（1）∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴和是等腰直角三角形， 1分
∴， 2分
设长方形的为，则为． 3分
由题意，得， 4分
化简，得，
解得，， 5分
∴或，
∴长方形卡片的长和宽分别为，或，； 6分
（2）根据题意画图如下：
7分
设长方形的长，则宽为． 8分
由题意，得， 10分
化简，得，解得，． 11分
经检验，，都符合题意．
∴长方形卡片的长和宽分别为和． 13分
23．解：（1），； 4分
（2）（1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 5分
如图2中，连接，设与交于，
∵菱形，，
∴和都是等边三角形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴， 8分
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∴：
∵，
∴．
∴（1）中的结论：，仍然成立； 10分
（3）或． 14分
解析如下：
如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，
∵四边形是菱形，
∴ 平分，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由（2）知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
如图4中，当点在的延长线上时，同法可得，
∴，
综上所述，的面积为或．
