2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）
一 选择题（每小题4分，共40分）
1.（4分）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（ ）
A. B. C. D.
2.（4分）直线同时要经过第一 二 四象限，则，，应满足（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.（4分）已知，若，，共面，则等于（ ）
A. B.3 C. D.9
4.（4分）若关于，的方程组无解，则（ ）
A.2 B. C.1 D.
5.（4分）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
6.（4分）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.（4分）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B. C. D.
8.（4分）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当 变化时，的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.（4分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（ ）
A.
B.点的坐标为
C.，，，四点共面
D.直线与直线所成角的余弦值为
二 填空题（每小题5分，共30分）
11.（5分）已知，且，则__________.
12.（5分）过点且平行于直线的直线方程为__________.
13.（5分）若，，则以为邻边的平行四边形面积为__________.
14.（5分）已知，则向量在上的投影向量坐标为__________.
15.（5分）若直线经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是__________.
16.（5分）在正三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的有__________.（请填入所有正确说法的序号）
①当时，的周长为定值；
②当时，三棱锥的体积为定值；
③当时，有且仅有一个点，使得；
④当时，有且仅有一个点，使得平面.
三 解答题（共50分）
17.（12分）已知的顶点分别为，，.
（1）求边的中线所在直线的方程；
（2）求边的垂直平分线的方程.
18.（12分）在平行六面体中，，，.
（1）求的长；
（2）求到直线的距离；
（3）动点在线段上运动，求的最小值.
19.（12分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.
（1）求证：；
（2）若底面，且，直线与平面所成角为.
（i）确定点的位置，并说明理由；
（ii）求线段的长.
20.（14分）设正整数，集合，对应集合A中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时.若的子集满足：当且仅当时，，则称为A的完美子集.
（1）当时，已知集合
，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；
（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为A的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一 选择题（每小题4分，共40分）
1.D
【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点都在直线上，点不在直线上.
故选：D.
2.【答案】A
【解答】解：由于直线同时要经过第一 二 四象限，故斜率小于0，在轴上的截距大于0，
故，故，
故选：A.
3.【答案】C
【解答】解：，
共面，
设，则，
，解得，
解得.
故选：C.
4.【答案】C
【解答】解：关于的方程组无解，
直线与直线平行，
，
解得.
故选：C.
5.【答案】A
【解答】解：由题意，
，
又因为，
所以，
所以.
故选：A.
6.【答案】A
【解答】解：由题意两条直线垂直时，则，即，
解得或，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.
7.【答案】C
【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为，
当时，则直线的斜率，
当时，则，这时直线的倾斜角为，
当，则，这时直线的倾斜角为，
综上所述：直线的倾斜角的范围为.
故选：C.
8.【答案】C
【解答】解：由题意，
当时，
.
的最大值为3.
故选：C.
9.【答案】B
【解答】解：如图，连接，
因为为中点，
所以，
又平面底面，平面底面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，
可得，
则，
设平面的一个法向量为，
则有，令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则有，令，得，得，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为.
故选：B.
10.【答案】C
【解答】解：由题意正方形的对角线，
则，
则，故A错误；
因为，则，故错误；
对于，
则，
所以，
又为三个向量的公共起点，所以四点共面，故C正确；
由，得，
则，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错误.
故选：C.
二 填空题（每小题5分，共30分）
11.【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为，且，
所以存在实数使得
即
解得.
故答案为.
12.【答案】见试题解答内容
【解答】解：设要求的直线方程为：，
把点（）代入上述方程可得：，解得.
要求的直线方程为：，
故答案为：.
13.【答案】见试题解答内容
【解答】解：设向量的夹角为，
，
，
由同角三角函数的关系，得，
以为邻边的平行四边形面积为，故答案为：.
14.【答案】.
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以向量在上的投影向量坐标为.
故答案为：.
15.【解答】解：直线经过点
，
，当且仅当时上式等号成立.
直线在轴，轴上的截距之和的最小值为.
故答案为：.
16.【解答】解：由题意得：，所以为正方形内一点，
①当时，，即，
所以在线段上，所以周长为，
如图1所示，当点在处时，，故①错误；
②如图2，当时，即，即，
所以在上，，
因为平面平面，所以点到平面距离不变，即不变，故②正确；
③当时，即，如图3，
为中点，为的中点，是上一动点，
易知当时，点与点重合时，由于为等边三角形，为中点，
所以，又，
所以平面，
因为平面，则，
当时，点与点重合时，可证明出平面，
而平面，则，即，故③错误；
④，当时，即，如图4所示，为的中点，为的中点，
则为上一动点，易知，
若平面，只需即可，
取的中点，连接，
又因为平面，所以，
若，只需平面，即即可，
如图5，易知当且仅当点与点重合时，故只有一个点符合要求，使得平面，故④正确.
故答案为：②④.
三 解答题（共50分）
17.【答案】（1）；
（2）.
【解答】解：（1）设中点的坐标为，
则，
边的中线过点两点，
所在直线方程为，即；
（2）的斜率，
的垂直平分线的斜率，
直线的方程为，即.
18.【答案】（1）；
（2）2；
（3）.
【解答】解：（1），
因为，
所以
而，
，
，
所以，
即的长度为；
（2）因为，
所以，
所以，
在中，，
所以，
即，
又因为，
所以平面，
而平面，
所以，
即为到直线的距离，
而，
所以三角形为等边三角形，即，
即到直线的距离为
（3）设
则
，
当时，
这时的最小值为.
19.【答案】（1）证明见解答；
（2）（1）F为中点；（2）2.
【解答】（1）证明：在正方形中，，
又平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
则；
（2）解：（1）当为中点时，有直线与平面所成角为，
证明如下：由平面，可得
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
又为中点，则，
设平面的一个法向量为，
则有，即，令，则，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.
（2）设点的坐标为，
因为点在棱上，所以可设，
即，所以，
因为是平面的法向量，
所以，即，
解得，故，则，
所以.
20.【答案】（1）是的完美子集，不是完美子集；
（2）；
（3）是的完美子集.
【解答】解（1）设，即，所以是完美子集，设，
，可得
解得：所以不是完美子集；
（2）因为集合不是的完美子集，
所以存在，使得，
即，
由集合的互异性可得：且且，所以且，
所以，可得，
所以，
即，
所以，
所以或，
当时，，解得：，
所以存在使得，
当时，因为，所以，不符合题意，
所以；
（3）一定是的完美子集，
假设存在不全为0的实数满足，
不妨设，则，否则与假设矛盾，
由，可得，
所以.即矛盾，所以假设不成立，
所以，所以，
所以一定是的完美子集.
