2024-2025学年九年级数学上学期期中卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
A．5 B．5 2 C．2 5 D．5 2 2
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
2 5
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 6．抛物线 = 2( 1) + 过 2, 1 ， 0, 2 ， , 2 3 三点，则 1， 2， 3大小关系是（ ）
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A． 2 > 3 > 1 B． 1 > 2 > 3 C． 2 > 1 > 3 D． 1 > 3 > 2
4．测试范围：人教版九年级上册 第二十一章~第二十四章。 7．如图，已知圆心角∠ = 78°，则圆周角∠ 的度数是（ ）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。）
1．一元二次方程 3 2 8 + 5 = 0 中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）
A．3，8，5 B．3， 8，5 C． 3， 8， 5 D． 3，8， 5
2．抛物线 y=3(x一 2)2+1的对称轴是（ ） A．156° B．78° C．39° D．24°
A．直线 x=-2 B．直线 x=-1 8．将抛物线 = 3 2 + 2 向右平移 1个单位，再向上平移 3个单位后所得到的抛物线解析式为( )
C．直线 x= 1 D．直线 x= 2 A． = 3( + 1)2 + 5 B． = 3( 1)2 + 5
3．若关于 x的一元二次方程 2 + 2 + 1 = 0 有一个根为 1，则 m的值为（ ） C． = 3( + 1)2 1 D． = 3( 1)2 1
A． 2 B． 1 C．1 D．2 9．若关于 的一元二次方程 2 2 + = 0 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
4．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点 B，∠ = 30°， = 4，则线段 A． > 2 B． ≥ 2 C． < 1 D． ≤ 1
OP的长为（ ） 10．如图，⊙ 是△ 的内切圆，切点分别为 ， ， ，且∠ = 90°， = 5， = 13，则⊙ 的半径
是（ ）
A．6 B．4 3 C．4 D．8
5．如图，将△ 绕点 顺时针旋转 90°得到△ ．若点 A，D，E在同一条直线上， = 2， = 5，则 A．1 B． 3 C．2 D．2 3
的长为（ ） 11．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共 157．若
设主干长出 x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A． 1 + 2 = 157 B．1 + + 2 = 157 C．1 + 2 = 157 D． + 2 = 157
12．二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线 = 1，则下列结论：① <0；
②2 = 0；③4 + 2 + > 0；④3 + > 0；⑤当 < 0 时， 1 < < 3．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 (1)请画出△ABC关于原点对称的Δ 1 1 1并写出点 1的坐标；
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．） (2)请画出△ABC绕点 A顺时针旋转 90°后的Δ 2 2；
13．若点 B与点 2, 3 关于原点对称，则点 B的坐标为 ． (3)在△ABC旋转到Δ 2 2的过程中，点 C经过的路径长度为________．
14．某农场去年种植西瓜 5亩，总产量为 10000kg．今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量 22．（10分）如图，在 Rt△ 中，∠ = 90°，将△ 绕着点 B逆时针旋转得到△ ，点 C，A的对应
增长到 30000kg．已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的 2倍，则平均亩产量的增长率为 ． 点分别为 E，F．点 E落在 上，连接 ．
15．⊙ 的半径为 6cm，若圆心 O到直线 l的距离是 4cm，则直线 l与⊙ 的位置关系是 ．
16．若正多边形的中心角为 30°，则该正多边形的边数为 ．
17．用半径为 30cm，圆心角为120 的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 ．
18．如图，以 (0,3)为圆心，半径为 6的圆与 轴交于 A，B两点，与 轴交于 C，D两点，点 为⊙ 上一动
点， ⊥ 于 ，点 在⊙ 的运动过程中，线段 的长度的最小值为 ． (1)若∠ = 40°，求∠ 的度数；
(2)若 = 8, = 6，求 的长．
23．（10分）快手、抖音等各大娱乐 APP 软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐
为主的主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并
从十月份该主播就开始盈利 36000元，十二月的盈利达到 43560元，且从十月到十二月，每月的盈利的
平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？
19．（5分）用公式法解方程：3 2 + 5 + 1 = 0．
24．（10分）如图， 为⊙ 直径，点 为⊙ 上一点， 平分∠ ， ⊥ ，垂足为 ， 交⊙ 于点
20．（5分）解方程： 2 2 8 = 0．
．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 1,1 ， 4,2 ， 3,4 ．
【问题解决】如果将正多边形变化为其他图形又会是怎样的情况呢？
（3）如图六，点 , , 为⊙ 上的点， = = 2 2，∠ = 90°，由弦 , 及弧 组成的类似扇
(1)求证：直线 是⊙ 的切线；
形的图形 沿着水平地面顺时针滚动一周，直接写出圆心 的运动路径的长．
(2)若 = 8， = 4，求⊙ 的直径．
25．（12分）【综合与实践】
【问题情境】在学习了数学活动《车轮做成圆形的数学道理》后，数学学习小组的同学们利用计算机软
件继续模拟并探讨各种不同类型的图形的滚动问题．
2
【实践探究】同学们首先选择了以下四种正多边形沿水平地面的滚动，研究了以一个顶点为支点完成一 26．（12分）如图 1，已知抛物线 = + + 与 x轴交于点 A，B（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点
C，顶点为 D， = = 3．
次完整旋转的过程．例如，在图一中，等边三角形 围绕顶点 ，中心从 顺时针旋转到 1再到 2的过
（1）求抛物线的函数表达式；
程．我们定义这个旋转过程为正．多．边．形．绕．一．个．顶．点．的．一．次．旋．转．．
（2）判断△ 的形状并说明理由；
（3）如图 2，N是 AC下方的抛物线上的一个动点，且点 N的横坐标为 n，求△ 面积 S与 n的函数
关系式及 S的最大值；
（4）在抛物线上是否存在一点 N，使得∠ = ∠ ，若存在，请直接写出点 N的坐标若不存在，请
说明理由．
（1）我们学习了图二中正方形绕一个顶点的一次旋转角度为 90°，即是正方形的中心角度数，也是外角
度数．那么等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为
______°；正 边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；
【深入探究】同学们继续模拟并探究，如果不是沿着水平地面滚动又会是怎样的情况？
（2）如图五，半径为 2的正五边形 在另一个相同半径的正五边形的边上顺时针滚动，初始时正
五边形 绕顶点 的一次旋转中，中心 旋转到 1，则这一次旋转的旋转角度是多大？沿正五边形
滚动一周后回到原来的位置，中心 的运动路径长为多少？2024-2025学年九年级数学上学期期中卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册 第二十一章~第二十四章。
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．一元二次方程 3 2 8 + 5 = 0 中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）
A．3，8，5 B．3， 8，5 C． 3， 8， 5 D． 3，8， 5
【答案】B
【详解】解：3 2 8 + 5 = 0 的二次项系数是 3，一次项系数是 8，常数项是 5．
故选：B．
2．抛物线 y=3(x一 2)2+1的对称轴是（ ）
A．直线 x=-2 B．直线 x=-1
C．直线 x= 1 D．直线 x= 2
【答案】D
【详解】解：∵ = 3 2 2 + 1，
∴抛物线对称轴为 x= 2．
故选：D．
3．若关于 x的一元二次方程 2 + 2 + 1 = 0 有一个根为 1，则 m的值为（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】D
【详解】解：∵一元二次方程 2 + 2 + 1 = 0 有一个根为 1，
∴将 1代入方程得： 1 2 + 2 × 1 + 1 = 0，
解得： = 2，
故选：D．
4．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点 B，∠ = 30°， = 4，则线段
OP的长为（ ）
A．6 B．4 3 C．4 D．8
【答案】D
【详解】连接 ，
∴ = = 4，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵∠ = 30°，
∴OP=2OA=8，
故选 D．
5．如图，将△ 绕点 顺时针旋转 90°得到△ ．若点 A，D，E在同一条直线上， = 2， = 5，
则 的长为（ ）
A．5 B．5 2 C．2 5 D．5 2 2
【答案】D
【详解】解：∵将△ 绕点 C顺时针旋转 90°得到△ ，
∴∠ = 90°， = = 5, = = 2，
∴ = 2 + 2 = 52 + 52 = 5 2，
∴ = = 5 2 2，
故选：D．
6．抛物线 = 2( 1)2 + 过 2, 51 ， 0, 2 ， , 3 三点，则 1， 2 2， 3大小关系是（ ）
A． 2 > 3 > 1 B． 1 > 2 > 3 C． 2 > 1 > 3 D． 1 > 3 > 2
【答案】D
【详解】解：在二次函数 = 2( 1)2 + ，对称轴 = 1，
在图象上的三点( 2, 1)，(0, ) (
5
2 ， ， 3)，点( 2, 1)离对称轴的距离最远，点(0, 2)离对称轴的距2
离最近，
∴ 1 > 3 > 2，
故选：D．
7．如图，已知圆心角∠ = 78°，则圆周角∠ 的度数是（ ）
A．156° B．78° C．39° D．24°
【答案】C
【详解】解：∵ ∠ = 78°，
∴ ∠ = 1∠ = 39°．
2
故选： ．
8．将抛物线 = 3 2 + 2向右平移 1个单位，再向上平移 3个单位后所得到的抛物线解析式为( )
A． = 3( + 1)2 + 5 B． = 3( 1)2 + 5
C． = 3( + 1)2 1 D． = 3( 1)2 1
【答案】B
【详解】解：∵抛物线 = 3 2 + 2的顶点坐标为 0,2 ，
∴抛物线 = 3 2 + 2向右平移 1个单位，再向上平移 3个单位得到的抛物线的顶点坐标为 1,5 ，
∴平移后抛物线的解析式为 = 3( 1)2 + 5．
故选：B．
9．若关于 的一元二次方程 2 2 + = 0有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． > 2 B． ≥ 2 C． < 1 D． ≤ 1
【答案】C
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 2 2 + = 0有两个不相等的实数根，
则 = ( 2)2 4 × 1 × > 0，解得： < 1，
故选：C．
10．如图，⊙ 是△ 的内切圆，切点分别为 ， ， ，且∠ = 90°， = 5， = 13，则⊙ 的半径
是（ ）
A．1 B． 3 C．2 D．2 3
【答案】C
【详解】解：连接 ， ， ，如图，
设⊙ 的半径为 r，
∵∠ = 90°， = 5， = 13，
∴ = 2 2 = 12，
∵F点、D点为切点，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
又∵∠ = 90°，
∴四边形 为矩形，
又∵ = ，
∴四边形 为正方形，
∴ = = = = ，
∴ = = 5 ， = = 12 ，
在 Rt△ 和 Rt△ 中，
=
= ，
∴Rt△ ≌ Rt△ HL ，
∴ = = 5 ，
同理可证 = = 12 ，
∴ = + = 5 + 12 = 17 2 ，
∵ = 13，
∴17 2 = 13，
∴ = 2，
即⊙ 的半径为 2．
故选 C．
11．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共 157．若
设主干长出 x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A． 1 + 2 = 157 B．1 + + 2 = 157 C．1 + 2 = 157 D． + 2 = 157
【答案】B
【详解】解：设主干长出 x个支干，则 x个支干长出 2个小分支，
根据题意，得 1 + + 2 = 157，
故选：B．
12．二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线 = 1，则下列结论：① <0；
②2 = 0；③4 + 2 + > 0；④3 + > 0；⑤当 < 0时， 1 < < 3．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】解：由图象知， < 0，且抛物线与 x轴的两个交点坐标分别为 1,0 , 3,0 ，
∴ = + 1 3 ，
∴ = 2 2 3 ，
∴ = 2 , = 3 ，
∴ > 0, > 0，
∴ <0，故①符合题意；
2 = 2 + 2 = 4 < 0，故②不符合题意；
4 + 2 + = 4 4 3 = 3 > 0，故③符合题意；
3 + = 3 3 = 0，故④不符合题意；
当 < 0 时， < 1或 > 3，故⑤不符合题意；
从而正确的有①③，
故选：A．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．）
13．若点 B与点 2, 3 关于原点对称，则点 B的坐标为 ．
【答案】( 2,3)
【详解】解：根据题意，关于原点对称点的坐标的特点是横纵坐标变为原来点坐标的相反数，
∴点 的坐标为( 2,3)．
故答案为： 2,3
14．某农场去年种植西瓜 5亩，总产量为 10000kg．今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产
量增长到 30000kg．已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的 2倍，则平均亩产量的增长率
为 ．
【答案】50%
【详解】解：设平均亩产量的增长率为 x，则种植面积的增长率为 2 ，
根据题意得：5 1 + 2 × 10000 × 1+ = 30000，
5
整理得：2 2 + 3 2 = 0，
解得： 1 = 0.5 = 50%， 2 = 2（不符合题意，舍去），
∴平均亩产量的增长率为 50%．
故答案为：50%．
15．⊙ 的半径为 6cm，若圆心 O到直线 l的距离是 4cm，则直线 l与⊙ 的位置关系是 ．
【答案】相交
【详解】解：∵圆心 O到直线 l的距离是 4cm，⊙ 的半径为 6cm，
又∵4 < 6，
∴直线 l与⊙ 相交．
故答案为：相交．
16．若正多边形的中心角为 30°，则该正多边形的边数为 ．
【答案】12
30° = 360°【详解】解：由题意得： ，解得： = 12；
∴正多边形的边数为：12；
故答案为：12．
17．用半径为 30cm，圆心角为120 的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径
为 ．
【答案】10cm/10厘米
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为 cm ，
2 = 120 ×30依题意，得 ，
180
解得： = 10 ，
故答案为：10cm ．
18．如图，以 (0,3)为圆心，半径为 6的圆与 轴交于 A，B两点，与 轴交于 C，D两点，点 为⊙ 上一动
点， ⊥ 于 ，点 在⊙ 的运动过程中，线段 的长度的最小值为 ．
【答案】3 3 3
【详解】解：连接 ，作 ⊥ ，连接 ，
∵ ⊥ ，
∴ =
在 △ 中， = 6, = 3，
∴ = 2 ， = 62 32 = 3 3，
∴∠ = 30°, ∠ = 60°，
∵ = = 6，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ + ∠ ，
∴∠ = ∠ = 30°，
∴ = 2 = 6 3, = 1 = 3，
2
∴ = 3 3，
∵ ⊥ ，
∴点 F在以 为直径的圆 M上移动，
当点 F在 的延长线上时， 的长最小，最小值为 = = 3 3 3，
故答案为 3 3 3．
三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（5分）用公式法解方程：3 2 + 5 + 1 = 0．
【详解】解： = 3, = 5, = 1，（1分）
Δ = 2 4 = 52 4 × 3 × 1 = 13 > 0，（2分）
∴ = ±
2 4 = 5± 13（4分）
2 6
解得： = 5+ 131 , =
5 13
2 ．（5分）6 6
20．（5分）解方程： 2 2 8 = 0．
【详解】解： 2 2 8 = 0，
因式分解得： 4 + 2 = 0，(2分)
∴ 4 = 0 或 + 2 = 0，(4分)
解得： 1 = 4， 2 = 2．（5分）
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 1,1 ， 4,2 ， 3,4 ．
(1)请画出△ABC关于原点对称的Δ 1 1 1并写出点 1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点 A顺时针旋转 90°后的Δ 2 2；
(3)在△ABC旋转到Δ 2 2的过程中，点 C经过的路径长度为________．
【详解】（1）解：如图所示，Δ 1 1 1即为所求．
∵点 1是点 C（3，4）关于原点对称的点，
∴ 1 3, 4 ；（2分)
（2）解：如图所示，Δ 2 2 2即为所求．(5分 )
（3）解：∵点 C的坐标为（3，4），点 A的坐标为（1，1），
∴ = 4 1 2 + 3 1 2 = 13，
= 90× × 13 = 13 ∴ 2 ．（8分）180 2
22．（10分）如图，在 Rt△ 中，∠ = 90°，将△ 绕着点 B逆时针旋转得到△ ，点 C，A的对应
点分别为 E，F．点 E落在 上，连接 ．
(1)若∠ = 40°，求∠ 的度数；
(2)若 = 8, = 6，求 的长．
【详解】（1）在 Rt△ 中，∠ = 90°，∠ = 40°，
∴∠ = 90° ∠ = 90° 40° = 50°，（2分）
∵将△ 绕着点 B逆时针旋转得到△ ，
∴∠ = ∠ = 50°， = ，（4分）
∴∠ = ∠ = 1 180° ∠ = 1 180° 50° = 65°；（5分）
2 2
（2）∵∠ = 90°， = 8, = 6，
∴ = 2 + 2 = 82 + 62 = 10，（7分）
∵将△ 绕着点 B逆时针旋转得到△ ，
∴∠ = ∠ = 90°， = = 6， = = 8，
∴ = = 10 6 = 4，（8分)
∵∠ = 180° ∠ = 180° 90° = 90°，
∴在 Rt△ 中， = 2 + 2 = 42 + 82 = 4 5．(10分）
23．（10分）快手、抖音等各大娱乐 APP软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱
乐为主的主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，
并从十月份该主播就开始盈利 36000元，十二月的盈利达到 43560元，且从十月到十二月，每月的盈
利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？
【详解】解：（1）设每月的平均增长率为 ．（1分）
根据题意可知：36000 1 + 2 = 43560．（4分）
解得 1 = 0.1， 2 = 2.1（舍去）．（5分）
答：每月的平均增长率为 10％．（6分）
（2）由（1）知：元月份的盈利将达到：43560 × 1 + 10％ = 47916元．（10分）
24．（10分）如图， 为⊙ 直径，点 为⊙ 上一点， 平分∠ ， ⊥ ，垂足为 ， 交⊙ 于
点 ．
(1)求证：直线 是⊙ 的切线；
(2)若 = 8， = 4，求⊙ 的直径．
【详解】（1）证明:连接 ,
∵ 平分∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ ∥ ，即 ∥ ，
∵ ⊥ ，
∴ ⊥ ，
又 是⊙ 的半径；
∴直线 是⊙ 的切线；（5分）
（2）解：作 ⊥ 于点 I，则 = ，
∵∠ = ∠ = ∠ = 90°， = 8， = 4，
∴四边形 是矩形，
∴ = = ， = = 8，
∴ = = = 4，
∵∠ = 90°，
∴ 4 2 + 82 = 2，
解得 = 10，（8分）
∴ = 2 = 20，（9分）
∴⊙ 的直径长为 20．（10分）
25．（12分）【综合与实践】
【问题情境】在学习了数学活动《车轮做成圆形的数学道理》后，数学学习小组的同学们利用计算机
软件继续模拟并探讨各种不同类型的图形的滚动问题．
【实践探究】同学们首先选择了以下四种正多边形沿水平地面的滚动，研究了以一个顶点为支点完成
一次完整旋转的过程．例如，在图一中，等边三角形 围绕顶点 ，中心从 顺时针旋转到 1再到 2
的过程．我们定义这个旋转过程为正．多．边．形．绕．一．个．顶．点．的．一．次．旋．转．．
（1）我们学习了图二中正方形绕一个顶点的一次旋转角度为 90°，即是正方形的中心角度数，也是外
角度数．那么等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度
为______°；正 边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；
【深入探究】同学们继续模拟并探究，如果不是沿着水平地面滚动又会是怎样的情况？
（2）如图五，半径为 2的正五边形 在另一个相同半径的正五边形的边上顺时针滚动，初始时正
五边形 绕顶点 的一次旋转中，中心 旋转到 1，则这一次旋转的旋转角度是多大？沿正五边形
滚动一周后回到原来的位置，中心 的运动路径长为多少？
【问题解决】如果将正多边形变化为其他图形又会是怎样的情况呢？
（3）如图六，点 , , 为⊙ 上的点， = = 2 2，∠ = 90°，由弦 , 及弧 组成的类似
扇形的图形 沿着水平地面顺时针滚动一周，直接写出圆心 的运动路径的长．
【详解】解：（1）依题意，一次旋转角度为正多边形形的中心角度数，也是外角度数．
360 = 120,360 = 72
3 5
∴等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为 120 °；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为 72 °；正
360
边形绕一个顶点的一次旋转角度为 °
故答案为：120 72 360； ， ;（3分）
（2）连接 1 ， , , 1 1, 1 ，
= , ∠ = ∠ = 360°∵ 1 1 1 = 72°5
∴∠ 1 = 180° 2 × 72° = 36°，（4分）
∵∠ = 360° = 72°
5
∠ = 1∴ 180° 72° = 54°，同理可得∠ 1 1 = 54°（5分）2
∴这一次旋转的旋转角度是∠ 1 = 2 × 54° + 36° = 144°；（6分）
144π×2
∴沿正五边形滚动一周后回到原来的位置，中心 的运动路径长 5 × = 8π；（8分）
180
（3）如图所示，
连接 ， ，
∵ = = 2 2，∠ = 90°，
∴ 是⊙ 1 1的直径，半径为 = 2 = 2，（9分）
2 2
第一部分的路径：当旋转到 与底面垂直时，为以点 为圆心，2为半径，顺时针旋转了 45°，则路径
45 π × 2 = π长为 ；
180 2
第二部分的路径为：以 2为半径的半圆向右滚动了半圈，则路径长为π = 2π；
45 π
第三部分的路径为：以 为圆心，2为半径，顺时针旋转了 45°，则路径长为 π × 2 = ；
180 2
90
第四部分的路径为：以 为圆心，2为半径，顺时针旋转了 90°，则路径长为 π × 2 = π；
180
π π
∴圆心 的运动路径的长为 + 2π + + π = 4π．（12分）
2 2
26．（12分）如图 1，已知抛物线 = 2 + + 与 x轴交于点 A，B（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点
C，顶点为 D， = = 3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△ 的形状并说明理由；
（3）如图 2，N是 AC下方的抛物线上的一个动点，且点 N的横坐标为 n，求△ 面积 S与 n的函
数关系式及 S的最大值；
（4）在抛物线上是否存在一点 N，使得∠ = ∠ ，若存在，请直接写出点 N的坐标若不存在，
请说明理由．
【详解】解：（1）∵ = = 3，
∴ 0, 3 ， 3,0 ．
∵抛物线 = 2 + + 经过点 A，C，
9 3 + = 0
∴ = 3 ，
= 2,
解得 = 3.
∴抛物线的表达式是 = 2 + 2 3．（2分）
（2）△ 是直角三角形，理由如下：（3分）
∵ = 2 + 2 3 = + 1 2 4
∴顶点 1, 4 ．
如答图 1，设抛物线的对称轴与 x轴交于点 E，过 C作 ⊥ 于点 F，
∵ 3,0 ， 1,0 ， 0, 3 ， 1, 4 ，
∴ = = 3， = 1， = 4， = 2， = 4， = 1， = 1．
∴ 2 = 2 + 2 = 32 + 32 = 18，
2 = 2 + 2 = 22 + 42 = 20，
2 = 2 + 2 = 12 + 12 = 2，
∴ 2 = 2 + 2．
∴△ 是直角三角形，且∠ = 90°．（5分）
（3）设直线 的表达式为 = + ，将 3,0 ， 0, 3 代入，
3 + = 0 = 1
得 = 3 ，解得 = 3．
∴直线 的表达式为 = 3．（6分)
如答图 2，过点 N作 ⊥ 轴于点 G，交直线 AC于点M，过点 C作 ⊥ 于点 H．
∵点 N的横坐标为 n，
∴点 , 2 + 2 3 ，点 , 3 ．
∴ = 3 2 + 2 3 = 2 3 ．
1 1 1
∴ △ = △ + △ = + = + ，2 2 2
= 1
2
= 1 2 3 × 3 = 3 2 9 = 3 + 3 + 27，
2 2 2 2 2 2 8
= 3∵ < 0．
2
∴当 = 3 27时，
2 △
的最大值是 ．（8分）
8
（4）存在．
当点 N在 A点左侧时，∠ 为钝角，
当点 N在 A、B两点之间时，点 N与点 C关于 = 1对称，
∴N点的坐标为 2, 3 ；(2分）
当点 N在 B点右侧时，作一条直线 l过 A点，平行于 BC，
BC的表达式为 = 3 3，
∴设 l为 = 3 + ，
代入 3,0 ，
∴ = 9，
∴l的表达式为 = 3 + 9，
= 3 + 9
联立 = 2 + 2 3，
解得：N点的坐标为 4,21 或 3,0 （舍去）；
∴点 的坐标为 2, 3 或 4,21 ．（12分）
